Pada artikel ini kita akan membahas tentang cara melakukan banyak perkalian sesedikit mungkin. Pasti sobat pada bingung ya, perkalian sesedikit mungkin ini maksudnya apa? Melakukan perkalian yang daibahas kali ini berkaitan langsung dengan bentuk eksponen (perpangkatan) dan sifat-sifatnya. Langsung saja kita perhatikan pernyataan berikut ini.
Ada berapa banyak perkalian yang dilakukan untuk menentukan hasil $ 7^6 \, $ ? Untuk menyelesaikannya, kita bisa jabarkan $ 7^6 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \, $ dengan $ 6 - 1 = 5 \, $ melakukan perkalian. Artinya $ 7^6 \, $ hasilnya diperoleh dengan melakukan perkalian sebanyak 5 kali.
Nah ternyata, bentuk $ 7^6 \, $ hasilnya dapat dilakukan perkalian dibawah 5 kali, kok bisa? Caranya dengan memodifikasi pangkatnya yaitu $ 7^6 = (7^2)^3. \, $ Bentuk $ 7^2 = 7 \times 7 \, $ ada 1 perkalian, $ (7^2)^3 = 49 \times 49 \times 49 \, $ ada 2 perkalian, sehingga total $ (7^2)^3 \, $ ada $ 1 + 2 = 3 \, $ perkalian. Artinya bentuk $ 7^6 \, $ hasilnya diperoleh dengan melakukan perkalian sebanyak 3 kali saja.
Bandingkan dengan perhitungan sebelumnya melakukan 5 perkalian, tentu dengan 3 perkalian saja lebih sedikit cara melakukan perkaliannya. Kesimpulannya, cara paling sedikit melakukan perkalian bentuk $ 7^6 \, $ adalah sebanyak 3 kali saja. Kirat-kira seperti itu yang dimaksud pada artikel ini untuk melakukan perkalian sesedikit mungkin.
Berikut cara menentukan banyaknya perkalian suatu bilangan dalam bentuk pangkat, baik banyak perkalian maksimum maupun banyak perkalian minimum (sesedikit mungkin).
Nah ternyata, bentuk $ 7^6 \, $ hasilnya dapat dilakukan perkalian dibawah 5 kali, kok bisa? Caranya dengan memodifikasi pangkatnya yaitu $ 7^6 = (7^2)^3. \, $ Bentuk $ 7^2 = 7 \times 7 \, $ ada 1 perkalian, $ (7^2)^3 = 49 \times 49 \times 49 \, $ ada 2 perkalian, sehingga total $ (7^2)^3 \, $ ada $ 1 + 2 = 3 \, $ perkalian. Artinya bentuk $ 7^6 \, $ hasilnya diperoleh dengan melakukan perkalian sebanyak 3 kali saja.
Bandingkan dengan perhitungan sebelumnya melakukan 5 perkalian, tentu dengan 3 perkalian saja lebih sedikit cara melakukan perkaliannya. Kesimpulannya, cara paling sedikit melakukan perkalian bentuk $ 7^6 \, $ adalah sebanyak 3 kali saja. Kirat-kira seperti itu yang dimaksud pada artikel ini untuk melakukan perkalian sesedikit mungkin.
Rumus Umum Banyaknya Perkalian
Misalkan ada bentuk $ a^n \, $ dengan $ n \, $ bilangan bulat positif, banyaknya perkalian yang dilakukan yaitu :
Perkalian Maksimum :
ada $ n - 1 \, $ perkalian
Perkalian Minimum (sesedikit mungkin) :
Pangkatnya $(n) \, $ dijabarkan dalam perkalian $(n=a_1.a_2.a_3....a_k) \, $
ada $(a_1+a_2+a_3+...+a_k) \, $ perkalian
dengan $ a_i, \, k \, $ bilangan bulat dan $ a_1, a_2, a_3, ...a_k \, $ sekecil mungkin, serta $ k \, $ adalah banyaknya pangkat.
Catatan: Cara ini berlaku untuk semua $ n \, $ pangkat bulat positif.
ada $ n - 1 \, $ perkalian
Perkalian Minimum (sesedikit mungkin) :
Pangkatnya $(n) \, $ dijabarkan dalam perkalian $(n=a_1.a_2.a_3....a_k) \, $
ada $(a_1+a_2+a_3+...+a_k) \, $ perkalian
dengan $ a_i, \, k \, $ bilangan bulat dan $ a_1, a_2, a_3, ...a_k \, $ sekecil mungkin, serta $ k \, $ adalah banyaknya pangkat.
Catatan: Cara ini berlaku untuk semua $ n \, $ pangkat bulat positif.
Contoh
Tentukan banyak perkalian yang dilakukan dari bentuk pangkat berikut :
a). $ 5^{12} \, \, \, \, $ b). $ 3^{21} \, \, \, \, $ c). $ 7^8 \, \, \, \, $ d). $ 7^{16} $
a). $ 5^{12} \, \, \, \, $ b). $ 3^{21} \, \, \, \, $ c). $ 7^8 \, \, \, \, $ d). $ 7^{16} $
Penyelesaian :
a). $ 5^{12} \, $ dengan $ n = 12 $
*). perkalian maksimum : ada $ 12 - 1 = 11 \, $ perkalian
*). perkalian minimum : $ n = 12 = 3 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 3 $
$ 5^{12} = ((5^2)^3)^2 $
ada $ (2+3+2) - 3 = 4 \, $ perkalian
b). $ 3^{21} \, $ dengan $ n = 21 $
*). perkalian maksimum : ada $ 21 - 1 = 20 \, $ perkalian
*). perkalian minimum : $ n = 21 = 7 \times 3 \, $ dan $ k = 2 $
$ 3^{21} = (3^7)^3 $
ada $ (7+3) - 2 = 8 \, $ perkalian
c). $ 7^8 \, $ dengan $ n = 8 $
*). perkalian maksimum : ada $ 8 - 1 = 7 \, $ perkalian
*). perkalian minimum : $ n = 8 = 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 3 $
$ 7^8 = ((7^2)^2)^2 $
ada $ (2+2+2) - 3 = 3 \, $ perkalian
d). $ 7^{16} \, $ dengan $ n = 16 $
*). perkalian maksimum : ada $ 16 - 1 = 15 \, $ perkalian
*). perkalian minimum : $ n = 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 4 $
$ 7^{16} = (((7^2)^2)^2)^2 $
ada $ (2+2+2+2) - 4 = 4 \, $ perkalian
a). $ 5^{12} \, $ dengan $ n = 12 $
*). perkalian maksimum : ada $ 12 - 1 = 11 \, $ perkalian
*). perkalian minimum : $ n = 12 = 3 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 3 $
$ 5^{12} = ((5^2)^3)^2 $
ada $ (2+3+2) - 3 = 4 \, $ perkalian
b). $ 3^{21} \, $ dengan $ n = 21 $
*). perkalian maksimum : ada $ 21 - 1 = 20 \, $ perkalian
*). perkalian minimum : $ n = 21 = 7 \times 3 \, $ dan $ k = 2 $
$ 3^{21} = (3^7)^3 $
ada $ (7+3) - 2 = 8 \, $ perkalian
c). $ 7^8 \, $ dengan $ n = 8 $
*). perkalian maksimum : ada $ 8 - 1 = 7 \, $ perkalian
*). perkalian minimum : $ n = 8 = 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 3 $
$ 7^8 = ((7^2)^2)^2 $
ada $ (2+2+2) - 3 = 3 \, $ perkalian
d). $ 7^{16} \, $ dengan $ n = 16 $
*). perkalian maksimum : ada $ 16 - 1 = 15 \, $ perkalian
*). perkalian minimum : $ n = 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 4 $
$ 7^{16} = (((7^2)^2)^2)^2 $
ada $ (2+2+2+2) - 4 = 4 \, $ perkalian
Misalkan kamu diminta menghitung $ 7^{64}. \, $ Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang diantara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tulisnkan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}. \, $ Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?
Penyelesaian :
Bentuk $ 7^{64} \, $ dengan $ n = 64 $
Untuk menentukan banyaknya cara perkalian minimum (sesedikit mungkin), pangkatnya kita jabarkan.
$ n = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 6 $
$ 7^{64} = (((((7^2)^2)^2)^2)^2)^2 $
Banyaknya cara perkalian sesedikit mungkin :
ada $(2+2+2+2+2+2)-6 = 6 \, $ perkalian.
Prosedurnya :
Hasilnya kita misalkan dalam bentuk aljabar karena sangat besar.
$7^2 = 7 \times 7 = a \, $ ada 1 perkalian
$ [7^2]^2 = a \times a = b \, $ ada 1 perkalian
$ [(7^2)^2]^2 = b \times b = c \, $ ada 1 perkalian
$ [((7^2)^2)^2]^2 = c \times c = d \, $ ada 1 perkalian
$ [(((7^2)^2)^2)^2]^2 = d \times d = e \, $ ada 1 perkalian
$ [((((7^2)^2)^2)^2)^2]^2 = e \times e = f \, $ ada 1 perkalian
Artinya banyak perkalian sebanyak $ 1 + 1+1+1+1+1 = 6 \, $ kali untuk memperoleh hasilnya (hasil akhirnya adalah $ f \, $) .
Jadi, bentuk $ 7^{64}, \, $ banyaknya perkalian (sesedikit mungkin) ada 6 perkalian.
Prosedur ini berlaku untuk pangkat bulat positif berapapun.
Bentuk $ 7^{64} \, $ dengan $ n = 64 $
Untuk menentukan banyaknya cara perkalian minimum (sesedikit mungkin), pangkatnya kita jabarkan.
$ n = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 6 $
$ 7^{64} = (((((7^2)^2)^2)^2)^2)^2 $
Banyaknya cara perkalian sesedikit mungkin :
ada $(2+2+2+2+2+2)-6 = 6 \, $ perkalian.
Prosedurnya :
Hasilnya kita misalkan dalam bentuk aljabar karena sangat besar.
$7^2 = 7 \times 7 = a \, $ ada 1 perkalian
$ [7^2]^2 = a \times a = b \, $ ada 1 perkalian
$ [(7^2)^2]^2 = b \times b = c \, $ ada 1 perkalian
$ [((7^2)^2)^2]^2 = c \times c = d \, $ ada 1 perkalian
$ [(((7^2)^2)^2)^2]^2 = d \times d = e \, $ ada 1 perkalian
$ [((((7^2)^2)^2)^2)^2]^2 = e \times e = f \, $ ada 1 perkalian
Artinya banyak perkalian sebanyak $ 1 + 1+1+1+1+1 = 6 \, $ kali untuk memperoleh hasilnya (hasil akhirnya adalah $ f \, $) .
Jadi, bentuk $ 7^{64}, \, $ banyaknya perkalian (sesedikit mungkin) ada 6 perkalian.
Prosedur ini berlaku untuk pangkat bulat positif berapapun.