Pertidaksamaan logaritma merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma yang berkaitan langsung dengan tanda ketaksamaan yaitu $ >, \, \geq , \, < , \, $ dan $ \leq \, $ . Pada artikel ini kita akan bahas tentang pertidaksamaan logaritma sederhana, dan untuk pertidaksamaan logaritma yang lebih sulit bisa sobat langsung lihat pada kumpulan soal-soal logaritma beserta dengan pembahasannya. Pertidaksamaan logaritma sederhana (misal bentuknya $ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) $ ) , penyelesaiannya bergantung pada nilai basisnya $(a) \, $ dan untuk menyelesaikannya sobat harus menguasai sifat-sifat logaritma dengan baik terlebih dahulu. Berikut konsep dasar dari pertidaksamaan logaritmanya.
Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma mengikuti penyelesaian pertidaksamaan secara umum dengan tahap-tahap yaitu menentukan akar-akarnya, menentukan garis bilangan dan tandanya, serta mengarsir daerah yang diminta berdasarkan tanda ketaksamaannya. Untuk menentukan akar-akar pertidaksamaan logaritma, kita ubah menjadi bentuk persamaan logaritma.
Hint : Ruas kiri dan kanan tanda ketaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis (bilangan pokok) yang sama.
Berikut beberapa contoh dari pertidaksamaan logaritma.
Pertidaksamaan Logaritma sebenarnya tidaklah sulit, hanya saja kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan juga yang akan menjadi solusi bersama sekaligus syarat tersebut yang menjadi ruang sampel untuk penyelesaian pertidaksamaan logaritmanya. Jadi, teman-teman jangan sampai lupa untuk menyelesaikan syarat logaritmanya juga.
Konsep Pertidaksamaan Logaritma
Untuk $ a \in R, \, a > 0 , \, a \neq 1, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ bentuk pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan bergantug dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
*). Solusi Umum :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
*). Solusi Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $
Sehingga solusi totalnya adalah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
*). Solusi Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $
Sehingga solusi totalnya adalah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.
Berikut beberapa contoh dari pertidaksamaan logaritma.
Contoh 1.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^2 \log (x+1) > 3 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Nilai basisnya $(a =2)$ lebih dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaan tetap
$\clubsuit \,$ Solusi Umum
Memodifikasi soal agar kedua ruas memuat bentuk logaritma
$\begin{align} {}^2 \log (x+1) & > 3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 2^3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 8 \\ \text{(basisnya } a & = 2 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ (x+1) & > 8 \\ x & > 7 \end{align} $
HP1 = $ \{ x > 7 \} $
$\clubsuit \,$ Syarat logaritma : (numerusnya)
$\begin{align} (x + 1 ) & > 0 \\ x & > - 1 \end{align} $
HP2 = $ \{ x > -1 \} $
Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > 7 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x > 7 \} $
Contoh 2. $\clubsuit \,$ Nilai basisnya $(a =2)$ lebih dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaan tetap
$\clubsuit \,$ Solusi Umum
Memodifikasi soal agar kedua ruas memuat bentuk logaritma
$\begin{align} {}^2 \log (x+1) & > 3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 2^3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 8 \\ \text{(basisnya } a & = 2 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ (x+1) & > 8 \\ x & > 7 \end{align} $
HP1 = $ \{ x > 7 \} $
$\clubsuit \,$ Syarat logaritma : (numerusnya)
$\begin{align} (x + 1 ) & > 0 \\ x & > - 1 \end{align} $
HP2 = $ \{ x > -1 \} $
Sehingga solusinya :
Jadi, solusinya HP = $ \{ x > 7 \} $
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.
$\spadesuit \, $ Solusi umum :
$\begin{align} {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{3} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (2x-3) & \leq (x+1) \\ x & \leq 4 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \leq 4 \} $
$\spadesuit \, $ Solusi syaratnya : (numerusnya)
*). $ (2x-3) > 0 \rightarrow 2x > 3 \rightarrow x > \frac{3}{2} \, $ ....(HP2)
*). $ (x+1) > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusi totalnya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.
$\spadesuit \, $ Solusi umum :
$\begin{align} {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{3} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (2x-3) & \leq (x+1) \\ x & \leq 4 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \leq 4 \} $
$\spadesuit \, $ Solusi syaratnya : (numerusnya)
*). $ (2x-3) > 0 \rightarrow 2x > 3 \rightarrow x > \frac{3}{2} \, $ ....(HP2)
*). $ (x+1) > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusi totalnya :
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $
Pertidaksamaan Logaritma sebenarnya tidaklah sulit, hanya saja kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan juga yang akan menjadi solusi bersama sekaligus syarat tersebut yang menjadi ruang sampel untuk penyelesaian pertidaksamaan logaritmanya. Jadi, teman-teman jangan sampai lupa untuk menyelesaikan syarat logaritmanya juga.