Persamaan Eksponen merupakan persamaan yang melibatkan bentuk eksponen seperti sifat-sifat eksponen dan bentuk akar yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Pada artikel kali ini, persamaan eksponen dibagi menjadi beberapa yaitu persamaan eksponen sederhana dan persamaan eksponen lanjut.
Persamaan eksponen adalah salah satu materi wajib yang harus kita kuasai. Materi ini sebenarnya sudah kita pelajari di tingkat SMP, dan kita lanjutkan lagi di tingkat SMA. Bedanya, untuk tingkat SMA ada pengembangan lagi bentuk persamaannya yaitu persamaan eksponen tingkat lanjut yang tentunya memiliki bentuk yang lebih rumit dan lebih kompleks lagi.
Persamaan eksponen biasanya sering keluar soal-soalnya untuk Ujian Nasional dan seleksi masuk perguruan tinggi. Jadi, penting bagi kita untuk menguasainya juga dengan baik dan benar, serta latihan soal-soalnya dengan lebih sering lagi.
Hint : Samakan nilai basis ($a$) ruas kiri dan kanan terlebih dahulu, kemudian coret basisnya sehingga tersisa pangkatnya saja.
Persamaan eksponen biasanya sering keluar soal-soalnya untuk Ujian Nasional dan seleksi masuk perguruan tinggi. Jadi, penting bagi kita untuk menguasainya juga dengan baik dan benar, serta latihan soal-soalnya dengan lebih sering lagi.
Persamaan Eksponen Sederhana
Persamaan eksponen sederhana maksudnya persamaan yang hanya menyamakan nilai basisnya dan langsung bisa menentukan penyelesaiannya, serta basisnya berbentuk bilangan (bukan fungsi) yang bisa dengan mudah disamakan bentuknya. Berikut teorinya . Untuk $ a \in R \, $ ( $ R \, $ menyatakan bilangan real), $ a \neq 0 , \, $ dan $ a \neq 1 \, $ , maka persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian untuk $ f(x) = g(x) $ .
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian untuk $ f(x) = g(x) $ .
Contoh 1.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 4^{2x-1} = \sqrt{8^{3x+1}} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Samakan basis kedua ruas, menggunakan sifat-sifat eksponen
$\begin{align} 4^{2x-1} & = \sqrt{8^{3x+1}} \\ (2^2)^{2x-1} & = 8^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{4x-2} & = (2^3)^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{4x-2} & = 2^\frac{9x+3}{2} \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ \not{2}^{4x-2} & = \not{2}^\frac{9x+3}{2} \\ 4x-2 & = \frac{9x+3}{2} \\ 8x - 4 & = 9x + 3 \\ 8x - 9x & = 3 + 4 \\ -x & = 7 \\ x & = -7 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -7 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 2. $\spadesuit \, $ Samakan basis kedua ruas, menggunakan sifat-sifat eksponen
$\begin{align} 4^{2x-1} & = \sqrt{8^{3x+1}} \\ (2^2)^{2x-1} & = 8^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{4x-2} & = (2^3)^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{4x-2} & = 2^\frac{9x+3}{2} \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ \not{2}^{4x-2} & = \not{2}^\frac{9x+3}{2} \\ 4x-2 & = \frac{9x+3}{2} \\ 8x - 4 & = 9x + 3 \\ 8x - 9x & = 3 + 4 \\ -x & = 7 \\ x & = -7 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -7 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left( \frac{1}{9} \right)^{x+1} = \sqrt{27^{2x-3}} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Samakan basis kedua ruas, menggunakan sifat-sifat eksponen
$\begin{align} \left( \frac{1}{9} \right)^{x+1} & = \sqrt{27^{2x-3}} \\ (3^{-2})^{x+1} & = 27^\frac{2x-3}{2} \\ 3^{-2x-2} & = (3^3)^\frac{2x-3}{2} \\ 3^{-2x-2} & = 3^\frac{6x-9}{2} \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ \not{3}^{-2x-2} & = \not{3}^\frac{6x-9}{2} \\ -2x-2 & = \frac{6x-9}{2} \\ -4x - 4 & = 6x - 9 \\ 10x & = 5 \\ x & = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{1}{2} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
$\clubsuit \,$ Samakan basis kedua ruas, menggunakan sifat-sifat eksponen
$\begin{align} \left( \frac{1}{9} \right)^{x+1} & = \sqrt{27^{2x-3}} \\ (3^{-2})^{x+1} & = 27^\frac{2x-3}{2} \\ 3^{-2x-2} & = (3^3)^\frac{2x-3}{2} \\ 3^{-2x-2} & = 3^\frac{6x-9}{2} \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ \not{3}^{-2x-2} & = \not{3}^\frac{6x-9}{2} \\ -2x-2 & = \frac{6x-9}{2} \\ -4x - 4 & = 6x - 9 \\ 10x & = 5 \\ x & = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{1}{2} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Persamaan Eksponen Lanjut
Persamaan eksponen lanjut maksudnya persamaan eksponen yang bentuk basis dan pangkatnya beragam yaitu dapat berupa fungsi atau bentuk basis ruas kiri dan ruas kanan tidak bisa disamakan. Berikut beberapa bentuk persamaan eksponen lanjut dan solusinya . (i). $ p^{f(x)} = q^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0 $
(ii). $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
(iii). $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya adalah semua :
a). $ f(x) = h(x) $
b). $ g(x) = 1 $
c). $ g(x) = -1 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
sama-sama genap atau sama-sama ganjil
d). $ g(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
sama-sama positif atau sama-sama negatif
(iv). $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya adalah semua :
a). $ f(x) = g(x) $
b). $ h(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ atau $ g(x) $
tidak bernilai nol.
(ii). $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
(iii). $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya adalah semua :
a). $ f(x) = h(x) $
b). $ g(x) = 1 $
c). $ g(x) = -1 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
sama-sama genap atau sama-sama ganjil
d). $ g(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
sama-sama positif atau sama-sama negatif
(iv). $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya adalah semua :
a). $ f(x) = g(x) $
b). $ h(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ atau $ g(x) $
tidak bernilai nol.
Contoh 3.
Bagaimana dengan materi persamaan eksponen dan contohnya?, setelah di pahamai secara seksama, tidaklah sulit. Selamat belajar dengan semangat teman-teman, pasti bisa. !!!^_^!!! Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 3^{2x-3} = 49^{x-\frac{3}{2}} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Proses bentuk basisnya
$\begin{align} 3^{2x-3} & = 49^{x-\frac{3}{2}} \\ 3^{2x-3} & = (7^2)^{x-\frac{3}{2}} \\ 3^{2x-3} & = 7^{2x-3} \\ (\text{berdasarkan } & \, p^{f(x)} = q^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0) \\ p=3, \, q & = 7 , \, f(x) = 2x-3 \\ f(x) & = 0 \\ 2x-3 & = 0 \\ 2x & = 3 \\ x & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{3}{2} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 4. $\spadesuit \, $ Proses bentuk basisnya
$\begin{align} 3^{2x-3} & = 49^{x-\frac{3}{2}} \\ 3^{2x-3} & = (7^2)^{x-\frac{3}{2}} \\ 3^{2x-3} & = 7^{2x-3} \\ (\text{berdasarkan } & \, p^{f(x)} = q^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0) \\ p=3, \, q & = 7 , \, f(x) = 2x-3 \\ f(x) & = 0 \\ 2x-3 & = 0 \\ 2x & = 3 \\ x & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{3}{2} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 2^{3x-1} = 3^{x+1} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
$\begin{align} 2^{3x-1} & = 3^{x+1} \\ p=2, \, f(x) & = 3x-1 , \, q = 3, \, g(x) = x+1 \\ f(x) . \log p & = g(x) . \log q \\ (3x-1) . \log 2 & = (x+1) . \log 3 \\ 3x \log 2 - \log 2 & = x\log 3 + \log 3 \\ 3x \log 2 - x \log 3 & = \log 3 + \log 2 \, \, \, \, \text{(gunakan sifat logaritma)} \\ x(3 \log 2 - \log 3) & = \log (3.2) \\ x( \log 2^3 - \log 3) & = \log 6 \\ x( \log 8 - \log 3) & = \log 6 \\ x( \log \frac{8}{3} ) & = \log 6 \\ x & = \frac{\log 6}{\log \frac{8}{3}} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{\log 6}{\log \frac{8}{3}} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 5. $\clubsuit \,$ Berdasarkan $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
$\begin{align} 2^{3x-1} & = 3^{x+1} \\ p=2, \, f(x) & = 3x-1 , \, q = 3, \, g(x) = x+1 \\ f(x) . \log p & = g(x) . \log q \\ (3x-1) . \log 2 & = (x+1) . \log 3 \\ 3x \log 2 - \log 2 & = x\log 3 + \log 3 \\ 3x \log 2 - x \log 3 & = \log 3 + \log 2 \, \, \, \, \text{(gunakan sifat logaritma)} \\ x(3 \log 2 - \log 3) & = \log (3.2) \\ x( \log 2^3 - \log 3) & = \log 6 \\ x( \log 8 - \log 3) & = \log 6 \\ x( \log \frac{8}{3} ) & = \log 6 \\ x & = \frac{\log 6}{\log \frac{8}{3}} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{\log 6}{\log \frac{8}{3}} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ (3x-4)^{-x+3} = (3x-4)^{5x-2} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan bentuk : $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} $
Soal : $ (3x-4)^{-x+3} = (3x-4)^{5x-2} \, $
artinya : $ g(x) = 3x-4, \, f(x) = -x+3, \, h(x) = 5x-2 $
Solusinya adalah semua bentuk berikut :
$\begin{align} a). \, \, f(x) & = h(x) \\ -x+3 & = 5x-2 \rightarrow 6x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{6} \\ b). \, \, \, g(x) & = 1 \\ 3x-4 & = 1 \rightarrow 3x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{3} \\ c). \, \, \, g(x) & = -1 \\ 3x-4 & = -1 \rightarrow 3x = 3 \rightarrow x = 1 \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = 1 \text{ ke pangkatnya : } \\ x & = 1 \rightarrow f(x) = -x+3 = -1 + 3 = 2 \, \text{(genap)} \\ x & = 1 \rightarrow h(x) = 5x-2 = 5.1 - 2 = 3 \, \text{(ganjil)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, h(x) \, \text { tidak sama-sama genap atau ganjil} , \\ \text{maka } & x = 1 \, \text{ tidak memenuhi persamaan tersebut.} \\ d). \, \, g(x) & = 0 \\ 3x-4 & = 0 \rightarrow 3x = 4 \rightarrow x = \frac{4}{3} \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = \frac{4}{3} \text{ ke pangkatnya : } \\ x & = \frac{4}{3} \rightarrow f(x) = -x+3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3} \, \text{(positif)} \\ x & = \frac{4}{3} \rightarrow h(x) = 5x-2 = 5.\frac{4}{3} - 2 = \frac{14}{3} \, \text{(positif)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, h(x) \, \text { sama-sama positif} , \\ \text{maka } & x = \frac{4}{3} \, \text{ memenuhi persamaan tersebut.} \end{align}$
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ x =\frac{5}{6}, \, x = \frac{5}{3} , \, x = \frac{4}{3} . \heartsuit $
Contoh 6. $\spadesuit \, $ Berdasarkan bentuk : $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} $
Soal : $ (3x-4)^{-x+3} = (3x-4)^{5x-2} \, $
artinya : $ g(x) = 3x-4, \, f(x) = -x+3, \, h(x) = 5x-2 $
Solusinya adalah semua bentuk berikut :
$\begin{align} a). \, \, f(x) & = h(x) \\ -x+3 & = 5x-2 \rightarrow 6x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{6} \\ b). \, \, \, g(x) & = 1 \\ 3x-4 & = 1 \rightarrow 3x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{3} \\ c). \, \, \, g(x) & = -1 \\ 3x-4 & = -1 \rightarrow 3x = 3 \rightarrow x = 1 \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = 1 \text{ ke pangkatnya : } \\ x & = 1 \rightarrow f(x) = -x+3 = -1 + 3 = 2 \, \text{(genap)} \\ x & = 1 \rightarrow h(x) = 5x-2 = 5.1 - 2 = 3 \, \text{(ganjil)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, h(x) \, \text { tidak sama-sama genap atau ganjil} , \\ \text{maka } & x = 1 \, \text{ tidak memenuhi persamaan tersebut.} \\ d). \, \, g(x) & = 0 \\ 3x-4 & = 0 \rightarrow 3x = 4 \rightarrow x = \frac{4}{3} \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = \frac{4}{3} \text{ ke pangkatnya : } \\ x & = \frac{4}{3} \rightarrow f(x) = -x+3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3} \, \text{(positif)} \\ x & = \frac{4}{3} \rightarrow h(x) = 5x-2 = 5.\frac{4}{3} - 2 = \frac{14}{3} \, \text{(positif)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, h(x) \, \text { sama-sama positif} , \\ \text{maka } & x = \frac{4}{3} \, \text{ memenuhi persamaan tersebut.} \end{align}$
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ x =\frac{5}{6}, \, x = \frac{5}{3} , \, x = \frac{4}{3} . \heartsuit $
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ (3x-1)^{x-1} = (2x+1)^{x-1} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} $
Soal : $ (3x-1)^{x-1} = (2x+1)^{x-1} \, $
artinya : $ f(x) = 3x-1, \, g(x) = 2x+1 , \, h(x) = x-1 $
Solusinya adalah semua bentuk berikut :
$\begin{align} a). f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2x+1 \rightarrow x = 2 \\ b). h(x) & = 0 \\ x-1 & = 0 \rightarrow x = 1 \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = 1 \text{ ke basisnya : } \\ x & = 1 \rightarrow f(x) = 3x-1 = 3.1-1=2 \, \text{(tidak nol)} \\ x & = 1 \rightarrow g(x) = 2x+1 = 2.1 + 1 = 3 \, \text{(tidak nol)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, g(x) \, \text { tidak ada yang nol} , \\ \text{maka } & x = 1 \, \text{ memenuhi persamaan tersebut.} \end{align}$
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ x = 2, \, x = 1 . \heartsuit $
$\clubsuit \,$ Berdasarkan $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} $
Soal : $ (3x-1)^{x-1} = (2x+1)^{x-1} \, $
artinya : $ f(x) = 3x-1, \, g(x) = 2x+1 , \, h(x) = x-1 $
Solusinya adalah semua bentuk berikut :
$\begin{align} a). f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2x+1 \rightarrow x = 2 \\ b). h(x) & = 0 \\ x-1 & = 0 \rightarrow x = 1 \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = 1 \text{ ke basisnya : } \\ x & = 1 \rightarrow f(x) = 3x-1 = 3.1-1=2 \, \text{(tidak nol)} \\ x & = 1 \rightarrow g(x) = 2x+1 = 2.1 + 1 = 3 \, \text{(tidak nol)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, g(x) \, \text { tidak ada yang nol} , \\ \text{maka } & x = 1 \, \text{ memenuhi persamaan tersebut.} \end{align}$
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ x = 2, \, x = 1 . \heartsuit $