Pada artikel ini kita akan membahas Cara mengerjakan sin cos 27 dan 54 derajat dimana sudut 27 derajat dan 54 derajat merupakan sudut buka istimewa. Kita akan menghitung nilai eksaknya (nilai sebenarnya, bukan pendekatan atau tidak menggunakan kalkulator). Dalam mengerjakan perhitungan sin dan cos sudut 54 derajat, kita membutuhkan nilai dari sin 36 derajat dan cos 36 derajat. Silahkan baca artikel "Bagaimana Mencari Nilai cos dan sin 36 derajat?", di sana sudah dihitung nilai sin dan cos 36 derajatnya.
Untuk mempermudah Cara mengerjakan sin cos 27 dan 54 derajat ini, kita membutuhkan beberapa rumus dasar trigonmetri seperti sudut komplemen dan sudut ganda. Pertama kita akan tentukan terlebih dahulu nilai sin dan cos 54 derajat dengan sudut komplemen, kemudian kita hitung nilai sin dan cos 27 derajat dengan sudut ganda.
$\begin{align} \sin A & = \cos (90^\circ - A) \\ \sin 54^\circ & = \cos (90^\circ - 54^\circ ) \\ & = \cos 36^\circ \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
*). Nilai cos 54 derajat menggunakan sudut komplemen :
$\begin{align} \cos A & = \sin (90^\circ - A) \\ \cos 54^\circ & = \sin (90^\circ - 54^\circ ) \\ & = \sin 36^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 54^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $
$\begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 27^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 27^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 54^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{4}{4}- \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $
*). Nilai cos 27 derajat menggunakan sudut ganda :
$\begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \\ \cos 27^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 27^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 54^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{4}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $
Untuk mempermudah Cara mengerjakan sin cos 27 dan 54 derajat ini, kita membutuhkan beberapa rumus dasar trigonmetri seperti sudut komplemen dan sudut ganda. Pertama kita akan tentukan terlebih dahulu nilai sin dan cos 54 derajat dengan sudut komplemen, kemudian kita hitung nilai sin dan cos 27 derajat dengan sudut ganda.
Rumus- Rumus Dasar Trigonometri yang digunakan
$\spadesuit \, $ Sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus Sudut Ganda
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
*). Nilai sin dan cos sudut 36 derajat
$ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
$ \sin 36^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus Sudut Ganda
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
*). Nilai sin dan cos sudut 36 derajat
$ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
$ \sin 36^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $
Nilai sin 27 derajat dan sin 54 derajat
$ \sin 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $
$ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
$ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
Cara mengerjakan sin dan cos 54 derajat
*). Nilai sin 54 derajat menggunakan sudut komplemen :$\begin{align} \sin A & = \cos (90^\circ - A) \\ \sin 54^\circ & = \cos (90^\circ - 54^\circ ) \\ & = \cos 36^\circ \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
*). Nilai cos 54 derajat menggunakan sudut komplemen :
$\begin{align} \cos A & = \sin (90^\circ - A) \\ \cos 54^\circ & = \sin (90^\circ - 54^\circ ) \\ & = \sin 36^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 54^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $
Cara mengerjakan sin dan cos 27 derajat
*). Nilai sin 27 derajat menggunakan sudut ganda :$\begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 27^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 27^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 54^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{4}{4}- \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $
*). Nilai cos 27 derajat menggunakan sudut ganda :
$\begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \\ \cos 27^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 27^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 54^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{4}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $