Rumus dasar sudut ganda trigonometri salah satunya bisa kita gunakan untuk Menghitung Nilai sin dan cos 15 derajat yang akan kita bahas pada artikel ini. Selain menggunakan sudut ganda, juga akan menggunakan rumus dasar pengurangan sudut pada trigonometri. Sudut 15 derajat merupakan salah satu sudut bukan istimewa yang tentu tidak kita hafalkan nilainya, akan tetapi bisa kita hitung nilai sin dan cos nya dengan bantuan rumus trigonometri. Harapannya akan menambah wawasan tetang nilai trigonometri sudut-sudut tidak istimewa salah satunya sudut 15 derajat.
Ada dua cara yang akan kita terapkan dalam Menghitung Nilai sin dan cos 15 derajat yaitu menggunakan rumus sudut ganda dan rumus pengurangan sudut pada trigonometri. Untuk sudut ganda, kita akan membutuhkan nilai cos 30 derajat . Sementara untuk rumus pengurangan sudut, kita membutuhkan nilai sin dan cos sudut 30 dan 45 derajat. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita simak pembahasannya berikut ini.
Rumus Dasar Trigonometri
Cara I : Menggunakan sudut ganda
*). Nilai sin 15 derajat,
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 15^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 30^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{2- \sqrt{3}}{4}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } $
*). Nilai cos 15 derajat,
$ \begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} \\ \cos 15^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 15^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 30^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{2+ \sqrt{3}}{4}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2+ \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } $
Cara II : Menggunakan Rumus pengurangan sudut
*). Nilai sin 15 derajat,
$ \begin{align} \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \sin 15^\circ & = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} - \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) $
*). Nilai cos 15 derajat,
$ \begin{align} \cos (A - B) & = \cos A \cos B + \sin A \sin B \\ \cos 15^\circ & = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $
Kenapa hasil cara I dan cara II kelihatannya berbeda? Sebenarnya nilainya sama saja yaitu $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \, $ dan $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $ . Untuk membuktikannya, silahkan kuadratkan saja, pasti diperoleh nilai yang sama seperti berikut ini.
$ [\frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} }]^2 = \frac{1}{4}(2- \sqrt{3}) $
$ [\frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} )]^2 = \frac{1}{16}( 6 + 2 - 2\sqrt{12} ) = \frac{1}{16}( 8 - 4\sqrt{3} ) = \frac{1}{4}(2- \sqrt{3}) $
Setelah dikuadratkan kedua bentuk $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } \, $ dan $ \, \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \, $ memberikan hasil yang sama, ini artinya meskipun mereka berbeda penyajian tetapi nilainya sama. Untuk membuktikan nilai keduanya sama, bisa juga teman-teman gunakan konsep dasar akar dalam akar yang bisa dibaca pada artikel "Bentuk Akar pada Eksponen".
Ada dua cara yang akan kita terapkan dalam Menghitung Nilai sin dan cos 15 derajat yaitu menggunakan rumus sudut ganda dan rumus pengurangan sudut pada trigonometri. Untuk sudut ganda, kita akan membutuhkan nilai cos 30 derajat . Sementara untuk rumus pengurangan sudut, kita membutuhkan nilai sin dan cos sudut 30 dan 45 derajat. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita simak pembahasannya berikut ini.
$\clubsuit \, $ Rumus Susdut ganda :
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
$ \spadesuit \, $ Rumus pengurangan sudut :
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
*). Nilai trigonmetri sudut 30 dan 45 derajat :
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \, \, \, $ dan $ \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$ \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} \, \, \, $ dan $ \cos 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
$ \spadesuit \, $ Rumus pengurangan sudut :
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
*). Nilai trigonmetri sudut 30 dan 45 derajat :
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \, \, \, $ dan $ \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$ \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} \, \, \, $ dan $ \cos 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $
Nilai Sin dan Cos 15 derajat
$ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) $
$ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $
$ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $
Cara I : Menggunakan sudut ganda
*). Nilai sin 15 derajat,
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 15^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 30^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{2- \sqrt{3}}{4}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } $
*). Nilai cos 15 derajat,
$ \begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} \\ \cos 15^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 15^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 30^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{2+ \sqrt{3}}{4}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2+ \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } $
Cara II : Menggunakan Rumus pengurangan sudut
*). Nilai sin 15 derajat,
$ \begin{align} \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \sin 15^\circ & = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} - \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) $
*). Nilai cos 15 derajat,
$ \begin{align} \cos (A - B) & = \cos A \cos B + \sin A \sin B \\ \cos 15^\circ & = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $
Kenapa hasil cara I dan cara II kelihatannya berbeda? Sebenarnya nilainya sama saja yaitu $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \, $ dan $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $ . Untuk membuktikannya, silahkan kuadratkan saja, pasti diperoleh nilai yang sama seperti berikut ini.
$ [\frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} }]^2 = \frac{1}{4}(2- \sqrt{3}) $
$ [\frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} )]^2 = \frac{1}{16}( 6 + 2 - 2\sqrt{12} ) = \frac{1}{16}( 8 - 4\sqrt{3} ) = \frac{1}{4}(2- \sqrt{3}) $
Setelah dikuadratkan kedua bentuk $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } \, $ dan $ \, \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \, $ memberikan hasil yang sama, ini artinya meskipun mereka berbeda penyajian tetapi nilainya sama. Untuk membuktikan nilai keduanya sama, bisa juga teman-teman gunakan konsep dasar akar dalam akar yang bisa dibaca pada artikel "Bentuk Akar pada Eksponen".