Cara Mencari dari sin 6 dan 12 derajat

         Hay teman-teman, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan melanjutkan membahas nilai trigonometri untuk sudut-sudut bukan istimewa yaitu khusus sudut 6 derajat dan 12 derajat . Nilai trigonometri yang akan kita bahas adalah Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, kita membutuhkan materi rumus dasar trigonometri dan nilai dari sin 3 derajat dan cos 3 derajat. Kemudian untuk menghitung nilai sin 12 derajat, kita akan membutuhkan nilai dari sin 6 derajat dan cos 6 derajat, artinya selain menghitung nilai sin 6 derajat juga harus menghitung nilai cos 6 derajat.

         Rumus dasar trigonometri yang digunakan untuk menentukan Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat yaitu rumus trigonometri sudut ganda dan identitas trigonometri. Untuk menghitung nilai sin 6 derajat , kita butuh pengetahun tentang perkalian bentuk akar, karena kita menghitung nilai sin 6 derajat berdasarkan nilai sin 3 derajat dan cos 3 derajat. Untuk lebih lengkapnya, mari kita lihat pembahasannya berikut ini.

Rumus Dasar Trigonmetri yang digunakan

$\spadesuit \,$ Rumus trigonometri sudut ganda
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$
$\cos 2A = 2\cos ^2 A - 1$
$\cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A$

$\clubsuit \,$ Identitas trigonmetri
$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin ^2 A}$
$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2 A}$

Sebelumnya kita telah menemukan nilai sin dan cos 3 derajat pada materi "Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat" yaitu :
$\sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)$
$\cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)$

Nilai sin 6 derajat dan sin 12 derajat

$\sin 6^\circ = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2]$
$\sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } }$

Menentukan Nilai Eksak sin 6 dan 12 derajat :

*). Menentukan nilai sin 6 derajat,

$\begin{align} & \sin 6^\circ = \sin 2 \times 3^\circ \\ & = 2 \sin 3^\circ \cos 3^\circ \\ & = 2 \times \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & \times \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & = \frac{1}{32}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & \times \left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] \end{align}$
Jadi, nilai $\sin 6^\circ = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2]$

*). Menentukan nilai cos 6 derajat,
$\begin{align} \sin 6^\circ & = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \sin ^2 6^\circ & = [\frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] ]^2 \\ & = \frac{1}{32}( 18 - 4\sqrt{5} + (3-\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \cos 6^\circ & = \sqrt{1 - \sin ^2 6^\circ} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{32}( 18 - 4\sqrt{5} + (3-\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \end{align}$
Jadi, nilai $\cos 6^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) }$

*). Menentukan nilai cos 12 derajat,
$\begin{align} & \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 \\ & \cos 12^\circ = \cos 2 \times 6^\circ = 2\cos ^2 6^\circ - 1 \\ & = 2 [\frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } ]^2 - 1 \\ & = 2 [\frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } ]^2 - 1 \\ & = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \end{align}$
Jadi, nilai $\cos 12^\circ = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } )$

*). Menentukan nilai sin 12 derajat,
$\begin{align} \cos 12^\circ & = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 12^\circ & = [ \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) ]^2 \\ & = \frac{1}{64} ( 81 - 28\sqrt{5} + (13 - 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A} \\ \sin 12^\circ & = \sqrt{1 - \cos ^2 12^\circ} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{64} ( 81 - 28\sqrt{5} + (13 - 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } \end{align}$
Jadi, nilai $\sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } }$

       Sebenarnya untuk mengaplikasikan rumus dasar trigonometri tidaklah sulit untuk menentukan Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat. Hanya saja menurut saya, perhitungan bentuk akarnya yang menyulitkan dan tentu menjenuhkan untuk kita selesaikan. Karena melibatkan banyak bentuk akar, mohon koreksi dari teman-teman yang lagi membaca artikel ini, mungkin saja ada kesalahan dalam penghitungannya. Semoga materi ini bermanfaat .

Tags : trigonometri

ShareShare on Facebook

TweetShare on Twitter

Postingan Terkait :

• Soal dan Pembahasan Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius
• Luas Segi Empat Tali Busur
• Rumus Trigonometri untuk Selisih dan Jumlah Dua Sudut
• Contoh Soal dan Pembahasan Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga
• Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga