Setelah sebelumnya kita mempelajari materi sistem persamaan yaitu sistem persamaan linear dan kuadrat. Kita lanjutkan salah satu materi matematika peminatan untuk kelas X yaitu sistem pertidaksamaan yaitu linear dan kuadrat. Pada artikel ini kita akan membahas Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat. Untuk sistem persamaan linear dan linear dua variabel tidak kita bahas karena sudah dibahas pada materi program linear beserta dengan soal ceritanya.
Pada pembahasan materi Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat ini akan lebih kita tekankan pada penyelesaiannya dimana yang melibatkan dua varibel saja. Penyelesaian yang dibahas terutama dalam bentuk grafik dan daerah arsiran yang menandakan sebagai solusinya. Daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) kita buat dalam bentuk daerah arsiran karena solusi untuk setiap varabelnya ada lebih dari satu dan biasanya dalam semesta bilangan real. Sistem pertidaksamaan melibatkan lebih dari satu pertidaksamaan yang khusu pada artikel ini melibatkan pertidaksamaan linear dua variabel dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel.
Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat, sebaiknya teman-teman ingat kembali materi persamaan garis lurus dan grafiknya serta fungsi kuadrat dan cara menggambar grafiknya. Karena kita lebih menekankan solusi sistem pertidaksamaan dalam bentuk grafik dan daerah arsiran, maka kita harus terbiasa dulu dalam menggambar grafiknya. Mari kita simak langsung penjelasannya berikut ini.
Contoh soal :
1). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 2x + 3y \geq 12 $?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu persamaan garis $ 2x + 3y = 12 \, $
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 2x + 3.0 = 12 \rightarrow 2x = 12 \rightarrow x = 6 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow 2.0 + 3y = 12 \rightarrow 3y = 12 \rightarrow y = 4 $.
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow 2x + 3y & \geq 12 \\ 2.0 + 3.0 &\geq 12 \\ 0 & \geq 12 \, \, \, \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) salah (bukan solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah lawannya yang tidak memuat titik (0,0) atau daerah di atas garis.
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
Keterangan gambar daerah himpunan penyelesaiannya :
Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian $ 2x + 3y \geq 12 \, $, artinya semua himpunan titik $(x,y) \, $ yang ada didaerah arsiran sebagai solusinya. Daerah yang diarsir sebenarnya semua daerah yang ada di atas garis $ 2x + 3y = 12 \, $ , hanya saja yang diarsir sedikit untuk mewakili bahwa daerah himpunan panyelesaiannya adalah semua daerah di atas garisnya.
Catatan :
Teman-teman bisa mempelajari cara menentukan daerah arsiran lebih lengkap pada materi : "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan".
2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \leq -x^2 + 5x + 6 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = -x^2 + 5x + 6 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = -x^2 + 5x + 6 \rightarrow -(x + 1)(x-6) = 0 \rightarrow x = 6 \vee x = -1 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = -0^2 + 5.0 + 6 \rightarrow y = 0 $.
Nilai $ a = -1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = -x^2 + 5x + 6 \, $ maka grafik hadap ke bawah.
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \leq -x^2 + 5x + 6 \\ 0 & \leq -0^2 + 5.0 + 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \geq 12 \\ y \leq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
*). Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah arisan yang diminta yang memenuhi keduanya yaitu :
4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \geq 12 \\ y \geq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.
5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \leq 12 \\ y \geq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.
6). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \leq 12 \\ y \leq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.
Dari contoh soal nomor 3 sampai 6 sengaja kita ubah tanda ketaksamaannya saja agar teman-teman mahir dalam mengerjakan soal-soal yang ada dengan berbagai tipe tanda ketaksamaan.
7). Tentukan sistem pertidaksamaan yang ditunjukan oleh daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkan seperti gambar berikut ini.
Penyelesaian :
*). Kita substitusi sembarang titik dari masing-masing kurva :
Kurva $ 2x - 3y = 12 \, $ , kita substitusi $(0,-6) \, $ yang berada pada daerah penyelesaian,
$ \begin{align} (x,y)=(0,-6) \rightarrow 2x - 3y & = 12 \\ 2.0 - 3.(-6) & = 12 \\ 0 + 18 & = 12 \\ 18 & \geq 12 \end{align} $
Artinya pertidaksamaannya adalah $ 2x - 3y \geq 12 $
Kurva $ y = x^2 - 2x - 8 \, $ , kita substitusi $(0,0) \, $ yang berada pada daerah penyelesaian,
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & = x^2 - 2x - 8 \\ 0 & = 0^2 - 2.0 - 8 \\ 0 & = - 8 \\ 0 & \geq - 8 \end{align} $
Artinya pertidaksamaannya adalah $ y \geq x^2 - 2x - 8 $
Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x - 3y \geq 12 \\ y \geq x^2 - 2x - 8 \end{array} \right. $
Pada pembahasan materi Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat ini akan lebih kita tekankan pada penyelesaiannya dimana yang melibatkan dua varibel saja. Penyelesaian yang dibahas terutama dalam bentuk grafik dan daerah arsiran yang menandakan sebagai solusinya. Daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) kita buat dalam bentuk daerah arsiran karena solusi untuk setiap varabelnya ada lebih dari satu dan biasanya dalam semesta bilangan real. Sistem pertidaksamaan melibatkan lebih dari satu pertidaksamaan yang khusu pada artikel ini melibatkan pertidaksamaan linear dua variabel dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel.
Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat, sebaiknya teman-teman ingat kembali materi persamaan garis lurus dan grafiknya serta fungsi kuadrat dan cara menggambar grafiknya. Karena kita lebih menekankan solusi sistem pertidaksamaan dalam bentuk grafik dan daerah arsiran, maka kita harus terbiasa dulu dalam menggambar grafiknya. Mari kita simak langsung penjelasannya berikut ini.
Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat
*). Grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat
Syarat utama dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat adalah mampu membuat grafiknya terlebih dahulu. Untuk grafik fungsi linear (garis lurus) silahkan baca materi "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya" dan grafik fungsi kuadrat bisa kita baca pada artikel "Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat" dan "Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dengan Teknik Menggeser".
*). Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya
Misalkan ada sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat :
$ \left\{ \begin{array}{c} ax+by \geq c \\ dx^2 + ex + fy \leq g \end{array} \right. $
Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan $(x,y) \, $ yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.
ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik.
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.
Syarat utama dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat adalah mampu membuat grafiknya terlebih dahulu. Untuk grafik fungsi linear (garis lurus) silahkan baca materi "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya" dan grafik fungsi kuadrat bisa kita baca pada artikel "Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat" dan "Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dengan Teknik Menggeser".
*). Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya
Misalkan ada sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat :
$ \left\{ \begin{array}{c} ax+by \geq c \\ dx^2 + ex + fy \leq g \end{array} \right. $
Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan $(x,y) \, $ yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.
Langkah-langkah Menentukan daerah arsiran :
i). Gambar dulu grafik masing-masing fungsi.ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik.
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.
1). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 2x + 3y \geq 12 $?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu persamaan garis $ 2x + 3y = 12 \, $
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 2x + 3.0 = 12 \rightarrow 2x = 12 \rightarrow x = 6 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow 2.0 + 3y = 12 \rightarrow 3y = 12 \rightarrow y = 4 $.
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow 2x + 3y & \geq 12 \\ 2.0 + 3.0 &\geq 12 \\ 0 & \geq 12 \, \, \, \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) salah (bukan solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah lawannya yang tidak memuat titik (0,0) atau daerah di atas garis.
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian $ 2x + 3y \geq 12 \, $, artinya semua himpunan titik $(x,y) \, $ yang ada didaerah arsiran sebagai solusinya. Daerah yang diarsir sebenarnya semua daerah yang ada di atas garis $ 2x + 3y = 12 \, $ , hanya saja yang diarsir sedikit untuk mewakili bahwa daerah himpunan panyelesaiannya adalah semua daerah di atas garisnya.
Catatan :
Teman-teman bisa mempelajari cara menentukan daerah arsiran lebih lengkap pada materi : "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan".
2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \leq -x^2 + 5x + 6 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = -x^2 + 5x + 6 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = -x^2 + 5x + 6 \rightarrow -(x + 1)(x-6) = 0 \rightarrow x = 6 \vee x = -1 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = -0^2 + 5.0 + 6 \rightarrow y = 0 $.
Nilai $ a = -1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = -x^2 + 5x + 6 \, $ maka grafik hadap ke bawah.
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \leq -x^2 + 5x + 6 \\ 0 & \leq -0^2 + 5.0 + 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \geq 12 \\ y \leq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
*). Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah arisan yang diminta yang memenuhi keduanya yaitu :
4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \geq 12 \\ y \geq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \leq 12 \\ y \geq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
6). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y \leq 12 \\ y \leq -x^2 + 5x + 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Dari contoh soal nomor 3 sampai 6 sengaja kita ubah tanda ketaksamaannya saja agar teman-teman mahir dalam mengerjakan soal-soal yang ada dengan berbagai tipe tanda ketaksamaan.
7). Tentukan sistem pertidaksamaan yang ditunjukan oleh daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkan seperti gambar berikut ini.
*). Kita substitusi sembarang titik dari masing-masing kurva :
Kurva $ 2x - 3y = 12 \, $ , kita substitusi $(0,-6) \, $ yang berada pada daerah penyelesaian,
$ \begin{align} (x,y)=(0,-6) \rightarrow 2x - 3y & = 12 \\ 2.0 - 3.(-6) & = 12 \\ 0 + 18 & = 12 \\ 18 & \geq 12 \end{align} $
Artinya pertidaksamaannya adalah $ 2x - 3y \geq 12 $
Kurva $ y = x^2 - 2x - 8 \, $ , kita substitusi $(0,0) \, $ yang berada pada daerah penyelesaian,
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & = x^2 - 2x - 8 \\ 0 & = 0^2 - 2.0 - 8 \\ 0 & = - 8 \\ 0 & \geq - 8 \end{align} $
Artinya pertidaksamaannya adalah $ y \geq x^2 - 2x - 8 $
Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x - 3y \geq 12 \\ y \geq x^2 - 2x - 8 \end{array} \right. $