Sebelumnya telah kita bahas cara menghitung nilai sin 18 derajat dan nilai cos serta tangen 18 derajat. Kita lanjutkan lagi membahas trigonometri sudut-sudut bukan istimewa yaitu sudut derajat dan sudut 9 derajat. Pada pembahasan Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat ini akan melibatkan nilai dari sin 18 derajat, cos 18 derajat, sin 15 derajat, dan nilai dari cos 15 derajat. Tentu sebelumnya ada beberapa materi atau rumus dasar trigonometri yang harus kita kuasai yaitu trigonometri sudut ganda dan rumus trigonometri pengurangan sudut.
Setelah bisa Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat, pada artikel berikutnya akan saya share nilai sin untuk sudut-sudut lain seperti sin 6 derajat, 21 derajat, 24 derajat, 27 derajat, 33 derajat, 36 derajat, 39 derajat, dan 42 derajat. Jika diperhatikan semua sudut-sudutnya, yang kita hitung adalah sudut-sudut dengan kelipatan 3 derajat.
Pada artikel sebelumnya telah kita peroleh :
$ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $
Dari rumus sudut ganda kita peroleh nilai :
$ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} $
$ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} $
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2. 9^\circ }{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 18^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1 - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{8} } \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{2}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} $
Sementara dari bentuk rumus $ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \, $ , maka kita peroleh nilai $ \cos 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} $
*). Menentukan nilai $ \sin 3^\circ \, $ dengan rumus selisih sudut
$ \begin{align} \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \sin 3^\circ & = \sin (18^\circ - 15^\circ) \\ \sin (18^\circ - 15^\circ) & = \sin 18^\circ \cos 15^\circ - \cos 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \sin 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
*). Menentukan nilai $ \cos 3^\circ \, $ dengan rumus selisih sudut
$ \begin{align} \cos (A - B) & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 3^\circ & = \cos (18^\circ - 15^\circ) \\ \cos (18^\circ - 15^\circ) & = \cos 18^\circ \cos 15^\circ + \sin 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4}. \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \cos 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
Demikian cara Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat sekaligus nilai cos 3 dan 9 derajat. Semoga pembahasan pada materi ini bermanfaat untuk kita semua terutama bagi yang membutuhkan, terutama untuk pengembangan dalam materi trigonometri.
Setelah bisa Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat, pada artikel berikutnya akan saya share nilai sin untuk sudut-sudut lain seperti sin 6 derajat, 21 derajat, 24 derajat, 27 derajat, 33 derajat, 36 derajat, 39 derajat, dan 42 derajat. Jika diperhatikan semua sudut-sudutnya, yang kita hitung adalah sudut-sudut dengan kelipatan 3 derajat.
Rumus dasar Trigonometri yang digunakan
*). Sudut ganda :
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} $
$ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} $
*). Rumus trigonometri pengurangan sudut :
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} $
$ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} $
*). Rumus trigonometri pengurangan sudut :
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
Nilai sin 3 derajat dan sin 9 derajat
$ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
$ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2-\frac{1}{2} \sqrt{10+2\sqrt{5}} } $
$ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2-\frac{1}{2} \sqrt{10+2\sqrt{5}} } $
$ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $
Dari rumus sudut ganda kita peroleh nilai :
$ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} $
$ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} $
Cara Mencari Nilai sin 3 derajat dan 9 derajat :
*). Nilai sin 9 derajat, dengan sudut ganda :$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2. 9^\circ }{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 18^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1 - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{8} } \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{2}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ \sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} $
Sementara dari bentuk rumus $ \cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \, $ , maka kita peroleh nilai $ \cos 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} $
*). Menentukan nilai $ \sin 3^\circ \, $ dengan rumus selisih sudut
$ \begin{align} \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \sin 3^\circ & = \sin (18^\circ - 15^\circ) \\ \sin (18^\circ - 15^\circ) & = \sin 18^\circ \cos 15^\circ - \cos 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \sin 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
*). Menentukan nilai $ \cos 3^\circ \, $ dengan rumus selisih sudut
$ \begin{align} \cos (A - B) & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 3^\circ & = \cos (18^\circ - 15^\circ) \\ \cos (18^\circ - 15^\circ) & = \cos 18^\circ \cos 15^\circ + \sin 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4}. \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \cos 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
Demikian cara Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat sekaligus nilai cos 3 dan 9 derajat. Semoga pembahasan pada materi ini bermanfaat untuk kita semua terutama bagi yang membutuhkan, terutama untuk pengembangan dalam materi trigonometri.