Sebelumnya kita telah mempelajari materi Teorema Fundamental Kalkulus pada Integral yang disertai dengan beberapa contoh soal. Teorema Fundamental Kalkulus yang disingkat TFK ini adalah materi khusus dalam integral yang mempermudah kita untuk menghitung bentuk integral tertentu. Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus I dan II.
Sebagai seorang pelajar yang berfikir logis, tentunya kalian tidak percaya begitu saja dengan suatu pernyataan. Pernyataan tersebut harus dibuktikan terlebih dahulu baru dipercaya kebenarannya. Sekarang, marilah kita buktikan kebenaran dari teorema fundamental kalkulus I dan II . Beberapa konsep yang akan kita butuhkan untuk membuktikan TFK I dan TFK II yaitu sifat penambahan interval pada integral tentu, definisi turunan fungsi, dan teorema apit.
Teori-teori yang akan kita gunakan dalam pembuktian teorema fundamental kalkulus I yaitu : Sifat penambahan interval pada integral tentu : Jika $ f $ adalah fungsi yang terintegralkan pada interval yang memuat $ a, b$, dan $ c $, maka $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $ . Definisi turunan fungsi: turunan pertama fungsi $ F(x) \, $ dapat ditulis : $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x) $. dan Teorema Apit : Jika terdapat bentuk $ k \leq f(x) \leq k , \, $ maka $ f(x) = k $ .
*). Bukti Teorema Fundamental Kalkulus I
Didefinisikan $ F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt , \, $ maka bentuk
$ \begin{align} F(x+h) & = \int \limits_a^{x+h} f(t) dt \\ & = \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \, \, \, \, \, \text{....pers(1)} \end{align} $
dengan $ h \, $ adalah bilangan real positif.
*). Kita kurangkan bentuk $ F(h+h) $ dengan $ F(x) $,
$ \begin{align} F(x+h) - F(x) & = \left( \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \right) - \left( \int \limits_a^x f(t) dt \right) \\ F(x+h) - F(x) & = \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \end{align} $
*). Misalkan :
$ m = \, $ nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x \, $ di $ [a,b]$
$ M = \, $ nilai maksimum fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x \, $ di $ [a,b]$
Seperti gambar (1) di bawah ini.
*). Menentukan luas masing-masing daerah berdasarkan gambar di atas :
Daerah A : Luas A = $ p \times l = m \times h $
Daerah C : Luas C = $ p \times l = M \times h $
Daerah B : Luas B = luas dibawah kurva $ y = f(t) \, $ = $ \int \limits_x^{x+h} f(t) dt = F(x+h) - F(x) $
*). Menentukan hubungan ketiga luas :
$ \begin{align} \text{Luas A } \leq \, & \text{ Luas B } \leq \text{ Luas C} \\ m\times h \leq \, & F(x+h) - F(x) \leq M \times h \, \, \, \, \, \text{(bagi } h ) \\ \frac{m\times h}{h} \leq \, & \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \frac{M \times h }{h} \\ m \leq \, & \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq M \, \, \, \, \, \text{(beri limit)} \\ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \end{align} $
*). Dari gambar (1) di atas, jika nilai $ h \, $ semakin kecil atau mendekati nol maka kita peroleh $ \displaystyle \lim_{h \to 0} m = \displaystyle \lim_{h \to 0} M = f(x) $ . Sehingga bentuk $ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \, $ menjadi $ f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x) $ .
*). Berdasarkan teorema apit, maka dari bentuk $ f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x) \, $ kita peroleh nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x) $.
*). Berdasarkan definisi turunan fungsi dan bentuk $ F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ :
Definisi turunan : $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x) $
*). Penyelesaian akhir pembuktian :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} & = f(x) \\ \frac{d}{dx}F(x) & = f(x) \, \ , \, \, \, \, \, \text{ (substitusi } F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt ) \\ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt & = f(x) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $
*). Untuk membuktikan TFK II, kita akan menggunakan TFK I : $ f(x) = \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt $.
Misalkan $ g(x) \, $ adalah antiturunan atau integral dari fungsi $ f \, $ , maka dapat kita tulis $ g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ . Dan misalkan juga $ F(x) \, $ adalah antiturunan lain dari fungsi $ f $ , $ F(x) $ dan $ g(x) $ hanya dibedakan oleh suatu konstanta $ C $ , sehingga dapat dinyatakan sebagai: $ F(x) = g(x) + C $.
*). Dari bentuk $ F(x) = g(x) + C \, $ dan $ g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ :
$ F(a) = g(a) + C \, $ dan $ \, F(b) = g(b) + C $.
$ g(a) = \int \limits_a^a f(t) dt = 0 \, $ dan $ \, g(b) = \int \limits_a^b f(t) dt $.
*). Kita kurangkan bentuk $ F(b) \, $ dan $ F(a) $ :
$\begin{align} F(b) - F(a) & = (g(b) + C) - (g(a) + C) \\ & = g(b) + C - g(a) - C \\ & = g(b) - g(a) \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt - 0 \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt \end{align} $
Jadi, terbukti $ \int \limits_a^b f(t) dt = F(b) - F(a) $.
Dari pembuktian kedua teorema di atas, terlihat bahwa butuh analisa yang lebih untuk memahami pembuktian teorema fundamental kalkulus I dan II. Untuk tingkat SMA, saran kami yang terpenting adalah penggunaannya dalam mengerjakan sebuah soal. Untuk pembuktiannya, sebaiknya tidak perlu didalami, kecuali untuk keperluan yang sangat penting, semisal untuk pengajar atau untuk tingkat kuliah. Sebenarnya teorema fundamental kalkulus I dan II ini sebelumnya dipelajari ketika tingkat kuliah saja, namun untuk kurikulum 2013 dimunculkan teorinya yang tentu secara pembuktian akan sulit dipahami bagi siswa/siswi.
Sebagai seorang pelajar yang berfikir logis, tentunya kalian tidak percaya begitu saja dengan suatu pernyataan. Pernyataan tersebut harus dibuktikan terlebih dahulu baru dipercaya kebenarannya. Sekarang, marilah kita buktikan kebenaran dari teorema fundamental kalkulus I dan II . Beberapa konsep yang akan kita butuhkan untuk membuktikan TFK I dan TFK II yaitu sifat penambahan interval pada integral tentu, definisi turunan fungsi, dan teorema apit.
Teori-teori yang akan kita gunakan dalam pembuktian teorema fundamental kalkulus I yaitu : Sifat penambahan interval pada integral tentu : Jika $ f $ adalah fungsi yang terintegralkan pada interval yang memuat $ a, b$, dan $ c $, maka $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $ . Definisi turunan fungsi: turunan pertama fungsi $ F(x) \, $ dapat ditulis : $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x) $. dan Teorema Apit : Jika terdapat bentuk $ k \leq f(x) \leq k , \, $ maka $ f(x) = k $ .
Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus I
$ \spadesuit \, $ Teorema Fundamental Kalkulus I (TFK I)
Jika $ f $ kontinu pada $[a, b] $ dan $ x $ sebarang titik di $ (a, b)$,
maka berlaku : $ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $.
Jika $ f $ kontinu pada $[a, b] $ dan $ x $ sebarang titik di $ (a, b)$,
maka berlaku : $ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $.
Didefinisikan $ F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt , \, $ maka bentuk
$ \begin{align} F(x+h) & = \int \limits_a^{x+h} f(t) dt \\ & = \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \, \, \, \, \, \text{....pers(1)} \end{align} $
dengan $ h \, $ adalah bilangan real positif.
*). Kita kurangkan bentuk $ F(h+h) $ dengan $ F(x) $,
$ \begin{align} F(x+h) - F(x) & = \left( \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \right) - \left( \int \limits_a^x f(t) dt \right) \\ F(x+h) - F(x) & = \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \end{align} $
*). Misalkan :
$ m = \, $ nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x \, $ di $ [a,b]$
$ M = \, $ nilai maksimum fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x \, $ di $ [a,b]$
Seperti gambar (1) di bawah ini.
Daerah A : Luas A = $ p \times l = m \times h $
Daerah C : Luas C = $ p \times l = M \times h $
Daerah B : Luas B = luas dibawah kurva $ y = f(t) \, $ = $ \int \limits_x^{x+h} f(t) dt = F(x+h) - F(x) $
*). Menentukan hubungan ketiga luas :
$ \begin{align} \text{Luas A } \leq \, & \text{ Luas B } \leq \text{ Luas C} \\ m\times h \leq \, & F(x+h) - F(x) \leq M \times h \, \, \, \, \, \text{(bagi } h ) \\ \frac{m\times h}{h} \leq \, & \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \frac{M \times h }{h} \\ m \leq \, & \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq M \, \, \, \, \, \text{(beri limit)} \\ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \end{align} $
*). Dari gambar (1) di atas, jika nilai $ h \, $ semakin kecil atau mendekati nol maka kita peroleh $ \displaystyle \lim_{h \to 0} m = \displaystyle \lim_{h \to 0} M = f(x) $ . Sehingga bentuk $ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \, $ menjadi $ f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x) $ .
*). Berdasarkan teorema apit, maka dari bentuk $ f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x) \, $ kita peroleh nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x) $.
*). Berdasarkan definisi turunan fungsi dan bentuk $ F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ :
Definisi turunan : $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x) $
*). Penyelesaian akhir pembuktian :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} & = f(x) \\ \frac{d}{dx}F(x) & = f(x) \, \ , \, \, \, \, \, \text{ (substitusi } F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt ) \\ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt & = f(x) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $
Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus II
$ \spadesuit \, $ Teorema Fundamental Kalkulus II (TFK II)
Jika $ f $ kontinu pada $ [a, b] $ dan $ F $ antiturunan $ f $ pada $ [a, b]$,
maka berlaku : $ \int \limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $
Jika $ f $ kontinu pada $ [a, b] $ dan $ F $ antiturunan $ f $ pada $ [a, b]$,
maka berlaku : $ \int \limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $
Misalkan $ g(x) \, $ adalah antiturunan atau integral dari fungsi $ f \, $ , maka dapat kita tulis $ g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ . Dan misalkan juga $ F(x) \, $ adalah antiturunan lain dari fungsi $ f $ , $ F(x) $ dan $ g(x) $ hanya dibedakan oleh suatu konstanta $ C $ , sehingga dapat dinyatakan sebagai: $ F(x) = g(x) + C $.
*). Dari bentuk $ F(x) = g(x) + C \, $ dan $ g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ :
$ F(a) = g(a) + C \, $ dan $ \, F(b) = g(b) + C $.
$ g(a) = \int \limits_a^a f(t) dt = 0 \, $ dan $ \, g(b) = \int \limits_a^b f(t) dt $.
*). Kita kurangkan bentuk $ F(b) \, $ dan $ F(a) $ :
$\begin{align} F(b) - F(a) & = (g(b) + C) - (g(a) + C) \\ & = g(b) + C - g(a) - C \\ & = g(b) - g(a) \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt - 0 \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt \end{align} $
Jadi, terbukti $ \int \limits_a^b f(t) dt = F(b) - F(a) $.
Dari pembuktian kedua teorema di atas, terlihat bahwa butuh analisa yang lebih untuk memahami pembuktian teorema fundamental kalkulus I dan II. Untuk tingkat SMA, saran kami yang terpenting adalah penggunaannya dalam mengerjakan sebuah soal. Untuk pembuktiannya, sebaiknya tidak perlu didalami, kecuali untuk keperluan yang sangat penting, semisal untuk pengajar atau untuk tingkat kuliah. Sebenarnya teorema fundamental kalkulus I dan II ini sebelumnya dipelajari ketika tingkat kuliah saja, namun untuk kurikulum 2013 dimunculkan teorinya yang tentu secara pembuktian akan sulit dipahami bagi siswa/siswi.