Untuk teknik integral selanjutnya kita akan membahas Teknik Integral Parsial yang secara langsung melibatkan bentuk "turunan" dan "integral". Teknik Integral Parsial ini kita gunakan jika "teknik integral substitusi aljabar" secara langsung tidak berhasil untuk menyelesaikan soal integralnya.
Contoh soal integral parsial :
1). Tentukan hasil dari integral $ \int x\sqrt{x+2} dx $.
Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu $ x \, $ dan $ \sqrt{x+2} $.
kita pilih $ u = x \, $ , karena jika kita turunkan akan menuju nol hasilnya.
beda dengan fungsi $ \sqrt{x+2} \, $ , jika diturnkan tidak akan menuju nol.
Sehingga sisanya adalah $ dv = \sqrt{x+2} dx $ .
*). Melengkapi rumus integral parsialnya :
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sqrt{x+2} dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
Berdasarkan rumus : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $ ,
$ \begin{align} dv = \sqrt{x+2} dx \rightarrow \int dv & = \int \sqrt{x+2} dx \\ v & = \int \sqrt{x+2} dx \\ & = \int (x+2)^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} (x+2)^{\frac{1}{2} + 1} \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2} } (x+2)^{\frac{3}{2} } \\ & = \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } \end{align} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int udv & = uv - \int vdu \\ \int udv & = x. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } - \int \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} \int (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} (x+2)^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{5}{2} } (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{2}{5} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int x\sqrt{x+2} dx = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c $
2). Hasil dari integral $ \int x^2 \cos 2x dx \, $ adalah ?
Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu $ x^2 \, $ dan $ \cos 2x $,
Kita pilih $ u = x^2 \, $ karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :
$ u = x^2 \rightarrow \frac{du}{dx} = 2x \rightarrow du = 2xdx $.
$ dv = \cos 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
$ \begin{align} dv = \cos 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \cos 2x dx \\ v & = \frac{1}{2} \sin 2x \end{align} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int udv & = uv - \int vdu \\ \int udv & = x^2. \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x . 2x dx \\ \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Bentuk $ \int x \sin 2x dx \, $ kita parsialkan lagi.
*). Ada dua fungsi yaitu $ x \, $ dan $ \sin 2x $,
Kita pilih $ u = x \, $ karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sin 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
$ \begin{align} dv = \sin 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \sin 2x dx \\ v & = -\frac{1}{2} \cos 2x \end{align} $
*). Menentukan hasilnya : $ \int x \sin 2x dx \, $
$ \begin{align} \int x \sin 2x dx & = uv - \int vdu \\ & = x . (-\frac{1}{2} \cos 2x - \int (-\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \int (\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $
Artinya hasil : $ \int x \sin 2x dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x $
*). Kita substitusikan ke pers (i) :
$ \begin{align} \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - (-\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x ) \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x - \frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int x^2 \cos 2x dx = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c $.
Untuk soal nomor (2) ini agak lebih panjang pengerjaannya karena kita melakukan integral parsial sebanyak dua kali. Ada cara lain yang lebih mudah untuk menyelesaikan integral parsial berkali-kali yaitu teknik integral parsial yang dikembangkan oleh Tanjalin sehingga kita sebut sebagai teknik Tanjalin dengan cara salah satu fungsi diturunkan sampai nol , kemudian fungsi lain diintegralkan dan selanjutkan dikalikan antara turunan dan integralnya.
Contoh soal :
3). Kita akan selesaikan soal nomor (1) dan nomor (2) di atas dengan cara Tanjalin :
*). soal nomor (1) : $ \int x\sqrt{x+2} dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x \, \, \, & | \, \, \, \sqrt{x+2} = (x+2)^\frac{1}{2} \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x\sqrt{x+2} dx & = (+x) \times \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} + (-1) \times \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^\frac{3}{2} - \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c \end{align} $
*). Soal nomor (2) : $ \int x^2 \cos 2x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x^2 \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2}. (-\frac{1}{2} \cos 2x ) = - \frac{1}{4} \cos 2x \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{4} . \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{1}{8} \sin 2x \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x^2 \cos 2x dx & = (+x^2) \times \frac{1}{2} \sin 2x + (-2x) \times - \frac{1}{4} \cos 2x + (+2) \times -\frac{1}{8} \sin 2x + c \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x -\frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x + c \end{align} $
Hasilnya ternyata sama dengan jawaban sebelumnya di atas hanya dengan teknik integral parsial biasa.
4). Tentukan hasil dari integral $ \int 2x^3 \cos x dx $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin langsung :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x^3 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 6x^2 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 12x \, \, \, & | \, \, \, -\cos x \\ (-) \, \, 12 \, \, \, & | \, \, \, - \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x dx & = (+2x^3) \times \sin x + (-6x^2) \times (-\cos x) + (+12x) \times (- \sin x) \\ & \, \, \, \, \, + (-12) \times \cos x + c \\ & = 2x^3 \sin x + 6x^2 \cos x - 12x \sin x -12 \cos x + c \, \, \, \, \text{(kelompokkan)} \\ & = ( 2x^3 - 12x) \sin x + (6x^2 -12) \cos x + c \end{align} $
5). Tentukan hasil integral dari bentuk :
a). $ \int 4x \sin x \cos x dx $
b). $ \int 2x \cos ^2 x dx $
c). $ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx $
Penyelesaian :
*). Pada masing-masing soal pada nomor (5) ini ada tiga fungsi sehingga tidak bisa langsung kita parsialkan, artinya fungsi trigonometrinya harus kita pecah atau kita gabungkan terlebih dahulu.
a). Ingat rumus : $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $,
Sehingga fungsinya : $ 4x \sin x \cos x = 2x . 2\sin x \cos x = 2x \sin 2x $.
Soalnya menjadi : $ \int 4x \sin x \cos x dx = \int 2x \sin 2x dx $
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \sin 2x \\ (-) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{2} \cos 2x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x = - \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 4x \sin x \cos x dx & = (+2x ) \times (-\frac{1}{2} \cos 2x) + (-2) \times (- \frac{1}{4} \sin 2x ) + c \\ & = -x \cos 2x) + \frac{1}{2} \sin 2x + c \end{align} $
b). Ingat rumus : $ \cos ^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x $,
Sehingga fungsinya : $ 2x \cos ^2 x = 2x (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x) = x + x \cos 2x $.
Soalnya menjadi : $ \int 2x \cos ^2 x dx = \int x + x \cos 2x dx = \int x dx + \int x \cos 2x dx $
Yang kita parsialkan hanya bentuk $ \int x \cos 2x dx $
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} . -\frac{1}{2} \cos 2x = - \frac{1}{4} \cos 2x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x \cos 2x dx & = (+x ) \times (\frac{1}{2} \sin 2x) + (-1) \times (- \frac{1}{4} \cos 2x ) + c \\ & = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c \end{align} $
*). Sehingga hasil akhirnya :
$ \begin{align} \int 2x \cos ^2 x dx & = \int x dx + \int x \cos 2x dx \\ & = \frac{1}{2}x^2 + (\frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x) + c \\ & = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c \end{align} $
c). Ingat rumus : $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) $,
Sehingga fungsinya :
$ 6x \cos (3x) \cos (2x) = 3x . 2\cos (3x) \cos (2x) = 3x (\cos 5x + \cos x ) = 3x \cos 5x + 3x \cos x $.
Soalnya menjadi :
$ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx = \int 3x \cos 5x + 3x \cos x dx = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx $
Kita parsialkan keduanya,
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
Bentuk pertama : $ \int 3x \cos 5x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos 5x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} \sin 5x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} . -\frac{1}{5} \cos 5x = - \frac{1}{25} \cos 5x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x \cos 5x dx & = (+3x ) \times (\frac{1}{5} \sin 5x) + (-3) \times (- \frac{1}{25} \cos 5x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + c \end{align} $
Bentuk kedua : $ \int 3x \cos x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, - \cos x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x \cos x dx & = (+3x ) \times ( \sin x) + (-3) \times (- \cos x ) + c \\ & = 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $
*). Sehingga hasil akhirnya :
$ \begin{align} \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx & = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx \\ & = (\frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x ) + (3 x \sin x + 3 \cos x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $
6). Tentukan integral dari $ \int 2x^3 \cos x^2 dx $
Penyelesaian :
*). Untuk soal ini, kita tidak bisa langsung menggunakan teknik parsial karena kita akan kesulitan untuk menentukan hasil integral dari fungsi $ \cos x^2 \, $ .
*). Kita gunakan teknik substitusi aljabar terlebih dahulu agar sudut dari $ \cos x^2 \, $ menjadi pangkat satu dengan memisalkan $ u = x^2 $.
*). Teknik substitusi aljabar :
$ u = x^2 \rightarrow u^\prime = 2x $
$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x^2 dx & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{2x} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int x^2 \cos u du \, \, \, \, \, \text{(ganti } x^2 = u) \\ & = \int u \cos u du \end{align} $
*). Bentuk $ \int u \cos u du \, $ inilah yang kita parsialkan.
Teknik tanjalin :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, u \, \, \, & | \, \, \, \cos u \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \sin u \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\cos u \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int u \cos u du & = (+u) \times \sin u + (-1) \times (-\cos u) + c \\ & = u \sin u + \cos u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk }u) \\ & = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int 2x^3 \cos x^2 dx = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c $.
Aturan Integral Parsial
Adapun aturan Integral Parsial yaitu : $ \int udv = uv - \int vdu $.
Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi $ (u) \, $ dan bagian lain (fungsi yang mengandung $ dx $) adalah $ dv$ . Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial.
Strategi Pemilihan fungsi $ u \, $ dan bentuk $ dv \, $ :
Untuk memudahkan dalam menggunakan integral parsial ini, kita pilih fungsi $ u \, $ yang diturunkannya akan menuju nol dan bentuk $ dv \, $ yang mudah kita integralkan.
Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi $ (u) \, $ dan bagian lain (fungsi yang mengandung $ dx $) adalah $ dv$ . Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial.
Strategi Pemilihan fungsi $ u \, $ dan bentuk $ dv \, $ :
Untuk memudahkan dalam menggunakan integral parsial ini, kita pilih fungsi $ u \, $ yang diturunkannya akan menuju nol dan bentuk $ dv \, $ yang mudah kita integralkan.
1). Tentukan hasil dari integral $ \int x\sqrt{x+2} dx $.
Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu $ x \, $ dan $ \sqrt{x+2} $.
kita pilih $ u = x \, $ , karena jika kita turunkan akan menuju nol hasilnya.
beda dengan fungsi $ \sqrt{x+2} \, $ , jika diturnkan tidak akan menuju nol.
Sehingga sisanya adalah $ dv = \sqrt{x+2} dx $ .
*). Melengkapi rumus integral parsialnya :
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sqrt{x+2} dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
Berdasarkan rumus : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $ ,
$ \begin{align} dv = \sqrt{x+2} dx \rightarrow \int dv & = \int \sqrt{x+2} dx \\ v & = \int \sqrt{x+2} dx \\ & = \int (x+2)^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} (x+2)^{\frac{1}{2} + 1} \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2} } (x+2)^{\frac{3}{2} } \\ & = \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } \end{align} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int udv & = uv - \int vdu \\ \int udv & = x. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } - \int \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} \int (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} (x+2)^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{5}{2} } (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{2}{5} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int x\sqrt{x+2} dx = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c $
2). Hasil dari integral $ \int x^2 \cos 2x dx \, $ adalah ?
Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu $ x^2 \, $ dan $ \cos 2x $,
Kita pilih $ u = x^2 \, $ karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :
$ u = x^2 \rightarrow \frac{du}{dx} = 2x \rightarrow du = 2xdx $.
$ dv = \cos 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
$ \begin{align} dv = \cos 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \cos 2x dx \\ v & = \frac{1}{2} \sin 2x \end{align} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} \int udv & = uv - \int vdu \\ \int udv & = x^2. \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x . 2x dx \\ \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Bentuk $ \int x \sin 2x dx \, $ kita parsialkan lagi.
*). Ada dua fungsi yaitu $ x \, $ dan $ \sin 2x $,
Kita pilih $ u = x \, $ karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :
$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.
$ dv = \sin 2x dx $ , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan $ v $ :
$ \begin{align} dv = \sin 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \sin 2x dx \\ v & = -\frac{1}{2} \cos 2x \end{align} $
*). Menentukan hasilnya : $ \int x \sin 2x dx \, $
$ \begin{align} \int x \sin 2x dx & = uv - \int vdu \\ & = x . (-\frac{1}{2} \cos 2x - \int (-\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \int (\frac{1}{2} \cos 2x ) dx \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x \\ & = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $
Artinya hasil : $ \int x \sin 2x dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x $
*). Kita substitusikan ke pers (i) :
$ \begin{align} \int udv & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x - (-\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x ) \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x - \frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int x^2 \cos 2x dx = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x + c $.
Untuk soal nomor (2) ini agak lebih panjang pengerjaannya karena kita melakukan integral parsial sebanyak dua kali. Ada cara lain yang lebih mudah untuk menyelesaikan integral parsial berkali-kali yaitu teknik integral parsial yang dikembangkan oleh Tanjalin sehingga kita sebut sebagai teknik Tanjalin dengan cara salah satu fungsi diturunkan sampai nol , kemudian fungsi lain diintegralkan dan selanjutkan dikalikan antara turunan dan integralnya.
Aturan Integral Parsial Tanjalin
Misalkan ada bentuk integral $ \int f(x) . g(x) dx \, $ , maka pengerjaan dengan teknik Tanjalin yaitu :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, f(x) \, \, \, & | \, \, \, g(x) \\ (-) \, \, f^\prime (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g(x) dx = g_1 (x) \\ (+) \, \, f^{\prime \prime } (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g_1(x) dx = g_2 (x) \\ (-) \, \, f^{\prime \prime \prime } \, \, \, (x) & | \, \, \, \int g_2(x) dx = g_3 (x) \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \int g_3(x) dx = g_4 (x) \end{align} $
Keterangan :
*). Fungsi yang diturunkan adalah fungsi yang menuju nol jika terus diturunkan.
*). Integral berhenti ketika turunan fungsi sebelah kirinya sudah nol.
*). Tanda sebelah kiri turunan harus ada dengan bertanda selang-seling dimulai dari positif $(+)$.
*). Cara mengalikan : Dari turunan ke integral "turun satu baris"
Baris pertama pada turunan $(f(x)) \, $ dikalikan dengan baris kedua pada integral $(g_1(x))$,
Baris kedua pada turunan $(f^\prime (x)) \, $ dikalikan dengan baris ketiga pada integral $(g_2(x))$,
Baris ketiga pada turunan $(f^{\prime \prime } (x)) \, $ dikalikan dengan baris keempat pada integral $(g_3(x))$,
begitu seterusnya, dan nol $(0)$ tidak perlu dikalikan.
Sehingga hasil integralnya :
$ \begin{align} \int f(x) . g(x) dx & = +f(x) \times g_1(x) + (- f^\prime (x)) \times g_2 (x) + \\ & (+f^{\prime \prime } (x)) \times g_3 (x) +(- f^{\prime \prime \prime }) \times g_4(x) + c \\ \int f(x) . g(x) dx & = f(x) g_1(x) - f^\prime (x) g_2 (x) + \\ & f^{\prime \prime } (x) g_3 (x) - f^{\prime \prime \prime } g_4(x) + c \end{align} $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, f(x) \, \, \, & | \, \, \, g(x) \\ (-) \, \, f^\prime (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g(x) dx = g_1 (x) \\ (+) \, \, f^{\prime \prime } (x) \, \, \, & | \, \, \, \int g_1(x) dx = g_2 (x) \\ (-) \, \, f^{\prime \prime \prime } \, \, \, (x) & | \, \, \, \int g_2(x) dx = g_3 (x) \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \int g_3(x) dx = g_4 (x) \end{align} $
Keterangan :
*). Fungsi yang diturunkan adalah fungsi yang menuju nol jika terus diturunkan.
*). Integral berhenti ketika turunan fungsi sebelah kirinya sudah nol.
*). Tanda sebelah kiri turunan harus ada dengan bertanda selang-seling dimulai dari positif $(+)$.
*). Cara mengalikan : Dari turunan ke integral "turun satu baris"
Baris pertama pada turunan $(f(x)) \, $ dikalikan dengan baris kedua pada integral $(g_1(x))$,
Baris kedua pada turunan $(f^\prime (x)) \, $ dikalikan dengan baris ketiga pada integral $(g_2(x))$,
Baris ketiga pada turunan $(f^{\prime \prime } (x)) \, $ dikalikan dengan baris keempat pada integral $(g_3(x))$,
begitu seterusnya, dan nol $(0)$ tidak perlu dikalikan.
Sehingga hasil integralnya :
$ \begin{align} \int f(x) . g(x) dx & = +f(x) \times g_1(x) + (- f^\prime (x)) \times g_2 (x) + \\ & (+f^{\prime \prime } (x)) \times g_3 (x) +(- f^{\prime \prime \prime }) \times g_4(x) + c \\ \int f(x) . g(x) dx & = f(x) g_1(x) - f^\prime (x) g_2 (x) + \\ & f^{\prime \prime } (x) g_3 (x) - f^{\prime \prime \prime } g_4(x) + c \end{align} $
3). Kita akan selesaikan soal nomor (1) dan nomor (2) di atas dengan cara Tanjalin :
*). soal nomor (1) : $ \int x\sqrt{x+2} dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x \, \, \, & | \, \, \, \sqrt{x+2} = (x+2)^\frac{1}{2} \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x\sqrt{x+2} dx & = (+x) \times \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} + (-1) \times \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^\frac{3}{2} - \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c \end{align} $
*). Soal nomor (2) : $ \int x^2 \cos 2x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x^2 \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2}. (-\frac{1}{2} \cos 2x ) = - \frac{1}{4} \cos 2x \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{4} . \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{1}{8} \sin 2x \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x^2 \cos 2x dx & = (+x^2) \times \frac{1}{2} \sin 2x + (-2x) \times - \frac{1}{4} \cos 2x + (+2) \times -\frac{1}{8} \sin 2x + c \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x -\frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x + c \end{align} $
Hasilnya ternyata sama dengan jawaban sebelumnya di atas hanya dengan teknik integral parsial biasa.
4). Tentukan hasil dari integral $ \int 2x^3 \cos x dx $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin langsung :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x^3 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 6x^2 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 12x \, \, \, & | \, \, \, -\cos x \\ (-) \, \, 12 \, \, \, & | \, \, \, - \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \end{align} $
Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x dx & = (+2x^3) \times \sin x + (-6x^2) \times (-\cos x) + (+12x) \times (- \sin x) \\ & \, \, \, \, \, + (-12) \times \cos x + c \\ & = 2x^3 \sin x + 6x^2 \cos x - 12x \sin x -12 \cos x + c \, \, \, \, \text{(kelompokkan)} \\ & = ( 2x^3 - 12x) \sin x + (6x^2 -12) \cos x + c \end{align} $
5). Tentukan hasil integral dari bentuk :
a). $ \int 4x \sin x \cos x dx $
b). $ \int 2x \cos ^2 x dx $
c). $ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx $
Penyelesaian :
*). Pada masing-masing soal pada nomor (5) ini ada tiga fungsi sehingga tidak bisa langsung kita parsialkan, artinya fungsi trigonometrinya harus kita pecah atau kita gabungkan terlebih dahulu.
a). Ingat rumus : $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $,
Sehingga fungsinya : $ 4x \sin x \cos x = 2x . 2\sin x \cos x = 2x \sin 2x $.
Soalnya menjadi : $ \int 4x \sin x \cos x dx = \int 2x \sin 2x dx $
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \sin 2x \\ (-) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{2} \cos 2x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x = - \frac{1}{4} \sin 2x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 4x \sin x \cos x dx & = (+2x ) \times (-\frac{1}{2} \cos 2x) + (-2) \times (- \frac{1}{4} \sin 2x ) + c \\ & = -x \cos 2x) + \frac{1}{2} \sin 2x + c \end{align} $
b). Ingat rumus : $ \cos ^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x $,
Sehingga fungsinya : $ 2x \cos ^2 x = 2x (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x) = x + x \cos 2x $.
Soalnya menjadi : $ \int 2x \cos ^2 x dx = \int x + x \cos 2x dx = \int x dx + \int x \cos 2x dx $
Yang kita parsialkan hanya bentuk $ \int x \cos 2x dx $
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} . -\frac{1}{2} \cos 2x = - \frac{1}{4} \cos 2x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int x \cos 2x dx & = (+x ) \times (\frac{1}{2} \sin 2x) + (-1) \times (- \frac{1}{4} \cos 2x ) + c \\ & = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c \end{align} $
*). Sehingga hasil akhirnya :
$ \begin{align} \int 2x \cos ^2 x dx & = \int x dx + \int x \cos 2x dx \\ & = \frac{1}{2}x^2 + (\frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x) + c \\ & = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + c \end{align} $
c). Ingat rumus : $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) $,
Sehingga fungsinya :
$ 6x \cos (3x) \cos (2x) = 3x . 2\cos (3x) \cos (2x) = 3x (\cos 5x + \cos x ) = 3x \cos 5x + 3x \cos x $.
Soalnya menjadi :
$ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx = \int 3x \cos 5x + 3x \cos x dx = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx $
Kita parsialkan keduanya,
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
Bentuk pertama : $ \int 3x \cos 5x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos 5x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} \sin 5x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} . -\frac{1}{5} \cos 5x = - \frac{1}{25} \cos 5x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x \cos 5x dx & = (+3x ) \times (\frac{1}{5} \sin 5x) + (-3) \times (- \frac{1}{25} \cos 5x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + c \end{align} $
Bentuk kedua : $ \int 3x \cos x dx $
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, - \cos x \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int 3x \cos x dx & = (+3x ) \times ( \sin x) + (-3) \times (- \cos x ) + c \\ & = 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $
*). Sehingga hasil akhirnya :
$ \begin{align} \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx & = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx \\ & = (\frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x ) + (3 x \sin x + 3 \cos x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $
6). Tentukan integral dari $ \int 2x^3 \cos x^2 dx $
Penyelesaian :
*). Untuk soal ini, kita tidak bisa langsung menggunakan teknik parsial karena kita akan kesulitan untuk menentukan hasil integral dari fungsi $ \cos x^2 \, $ .
*). Kita gunakan teknik substitusi aljabar terlebih dahulu agar sudut dari $ \cos x^2 \, $ menjadi pangkat satu dengan memisalkan $ u = x^2 $.
*). Teknik substitusi aljabar :
$ u = x^2 \rightarrow u^\prime = 2x $
$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x^2 dx & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{2x} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int x^2 \cos u du \, \, \, \, \, \text{(ganti } x^2 = u) \\ & = \int u \cos u du \end{align} $
*). Bentuk $ \int u \cos u du \, $ inilah yang kita parsialkan.
Teknik tanjalin :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, u \, \, \, & | \, \, \, \cos u \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \sin u \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\cos u \end{align} $
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
$ \begin{align} \int u \cos u du & = (+u) \times \sin u + (-1) \times (-\cos u) + c \\ & = u \sin u + \cos u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk }u) \\ & = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c \end{align} $
Jadi, hasilnya : $ \int 2x^3 \cos x^2 dx = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c $.