What's up Bro.., bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada kesempatan ini kita akan membahas yang namanya integral. Apa sih integral itu? dan bagaimana cara menghitungnya?. Kita akan mempelajarinya secara bertahap, yang kita awali dengan mempelajari Pengertian Integral Secara Umum dulu baru materi berikutnya lebih mendalam lagi. Tapi ada baiknya teman-teman harus menguasai materi turunan fungsi terlebih dahulu karena integral berkaitan erat dengan turunan.
Misalkan $ f $ adalah fungsi turunan dari fungsi $ F $ yang kontinu pada suatu domain. Untuk setiap $ x $ terletak pada domain tersebut, berlaku $ \begin{align} F^\prime (x) = \frac{dF(x)}{dx} = f(x) \end{align} , \, $ artinya turunan fungsi $ F(x) \, $ adalah $ f(x) $.
Perhatikan bentuk fungsi $ F(x) \, $ dan turunannya yaitu $ f(x) $ berikut :
$ F(x) = x^2 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + 3 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 - 5 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + \sqrt{3} \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + c \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x \, $($c \, $ adalah suatu konstanta).
Dari kenyataan tersebut, timbul pertanyaan bagaimanakah menentukan fungsi $ F $ sedemikian rupa sehingga untuk setiap $ x $ anggota domain $ F $, berlaku $ F^\prime (x) = f(x)? \, $ Suatu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi $ F $ merupakan invers dari operasi derivatif (diferensial). Invers dari operasi derivatif disebut integral. Integral disebut juga antiderivatif (antidiferensial) atau antiturunan. Pada contoh di atas, jika $ F(x) $ adalah integral dari $ f(x) = 2x$, maka $ F(x) = x^2 + c$, dengan $c $ suatu konstanta real.
Contoh soal integral :
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a) $ \int 2x dx $
b) $ \int (x + 3) dx $
Penyelesaian :
a) $ \int 2x dx = x^2 + c $
karena turunan dari $ x^2 + c \, $ adalah $ 2x $.
b) $ \int (x + 3) dx = \frac{1}{2}x^2 + 3x + c $
karena turunan dari $ \frac{1}{2}x^2 + 3x + c \, $ adalah $ x + 3 $.
Catatan :
Untuk menentukan integral selanjutnya kita akan menggunakan rumus yang ada, artinya kita tidak perlu menurunkannya lagi seperti contoh di atas.
Misalkan $ f $ adalah fungsi turunan dari fungsi $ F $ yang kontinu pada suatu domain. Untuk setiap $ x $ terletak pada domain tersebut, berlaku $ \begin{align} F^\prime (x) = \frac{dF(x)}{dx} = f(x) \end{align} , \, $ artinya turunan fungsi $ F(x) \, $ adalah $ f(x) $.
Perhatikan bentuk fungsi $ F(x) \, $ dan turunannya yaitu $ f(x) $ berikut :
$ F(x) = x^2 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + 3 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 - 5 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + \sqrt{3} \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + c \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x \, $($c \, $ adalah suatu konstanta).
Dari kenyataan tersebut, timbul pertanyaan bagaimanakah menentukan fungsi $ F $ sedemikian rupa sehingga untuk setiap $ x $ anggota domain $ F $, berlaku $ F^\prime (x) = f(x)? \, $ Suatu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi $ F $ merupakan invers dari operasi derivatif (diferensial). Invers dari operasi derivatif disebut integral. Integral disebut juga antiderivatif (antidiferensial) atau antiturunan. Pada contoh di atas, jika $ F(x) $ adalah integral dari $ f(x) = 2x$, maka $ F(x) = x^2 + c$, dengan $c $ suatu konstanta real.
Pengertian Integral
Jika $ F(x) $ adalah fungsi umum yang bersifat $ F^\prime (x) = f(x)$, maka $ F(x) $ merupakan antiturunan atau integral dari $ f(x) $.
Pengintegralan fungsi $ f(x) $ terhadap $ x $ dinotasikan sebagai berikut.
$ \int f(x) dx = F(x) + c $
Keterangan :
$ \int = \, $ notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
$ f(x) = \, $ fungsi integran (fungsi yang dicari antiturunannya/integralnya)
$ F(x) = \, $ fungsi integral umum yang bersifat $ F^\prime (x) = f(x)$
$ c = \, $ konstanta.
Pengintegralan fungsi $ f(x) $ terhadap $ x $ dinotasikan sebagai berikut.
$ \int f(x) dx = F(x) + c $
Keterangan :
$ \int = \, $ notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
$ f(x) = \, $ fungsi integran (fungsi yang dicari antiturunannya/integralnya)
$ F(x) = \, $ fungsi integral umum yang bersifat $ F^\prime (x) = f(x)$
$ c = \, $ konstanta.
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a) $ \int 2x dx $
b) $ \int (x + 3) dx $
Penyelesaian :
a) $ \int 2x dx = x^2 + c $
karena turunan dari $ x^2 + c \, $ adalah $ 2x $.
b) $ \int (x + 3) dx = \frac{1}{2}x^2 + 3x + c $
karena turunan dari $ \frac{1}{2}x^2 + 3x + c \, $ adalah $ x + 3 $.
Catatan :
Untuk menentukan integral selanjutnya kita akan menggunakan rumus yang ada, artinya kita tidak perlu menurunkannya lagi seperti contoh di atas.
Sub Materi pada Integral
Sub materi yang akan kita pelajari pada Integral yaitu :
i). Pengertia integral
ii). Apa bedanya integral Tertentu dan Tak Tentu
iii). Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
*). Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral
iv). Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
v). Teknik Integral :
a). Integral Substitusi Aljabar
b). Integral Parsial
c). Integral Substitusi Trigonometri
d). Integral Membagi Pecahan
vi). Integral Tertentu :
a). Jumlah Riemann
b). Teorema Fundamental Kalkulus
c). Sifat-sifat Integral Tertentu
vii). Penggunaan Integral :
a). Menentukan Luas Kurva
b). Menentukan Panjang Lintasan Kurva
c). Menentukan Volume Benda Putar.
i). Pengertia integral
ii). Apa bedanya integral Tertentu dan Tak Tentu
iii). Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
*). Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral
iv). Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
v). Teknik Integral :
a). Integral Substitusi Aljabar
b). Integral Parsial
c). Integral Substitusi Trigonometri
d). Integral Membagi Pecahan
vi). Integral Tertentu :
a). Jumlah Riemann
b). Teorema Fundamental Kalkulus
c). Sifat-sifat Integral Tertentu
vii). Penggunaan Integral :
a). Menentukan Luas Kurva
b). Menentukan Panjang Lintasan Kurva
c). Menentukan Volume Benda Putar.