Soal 1.
Nyatakan kalimat berikut "Benar" atau "Salah"
a). 8 adalah faktor dari 12.
b). Jika bilangan $ x \, $ dikalikan dua, hasilnya seperempat dari 48.
c). Diagonal-diagonal bangun datar persegi panjang saling berpotongan tegak lurus.
a). 8 adalah faktor dari 12.
b). Jika bilangan $ x \, $ dikalikan dua, hasilnya seperempat dari 48.
c). Diagonal-diagonal bangun datar persegi panjang saling berpotongan tegak lurus.
Penyelesaian :
a). 8 adalah faktor dari 12.
Yang dimaksud dengan faktor adalah perbaginya.
Faktor positif dari 12 yaitu {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Artinya 8 bukan faktor dari 12.
Jadi kalimat (a) ini "Salah".
b). Jika bilangan $ x \, $ dikalikan dua, hasilnya seperempat dari 48.
Kalimat ini tidak bisa ditentukan kebenarannya karena masih memuat variabel $ x \, $. Sehingga kalimat (b) ini disebut "kalimat terbuka".
c). Diagonal-diagonal bangun datar persegi panjang saling berpotongan tegak lurus.
Diagonal-diagonal persegi panjang berpotongan tidak tegak lurus sehingga kalimat (c) "Salah".
a). 8 adalah faktor dari 12.
Yang dimaksud dengan faktor adalah perbaginya.
Faktor positif dari 12 yaitu {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Artinya 8 bukan faktor dari 12.
Jadi kalimat (a) ini "Salah".
b). Jika bilangan $ x \, $ dikalikan dua, hasilnya seperempat dari 48.
Kalimat ini tidak bisa ditentukan kebenarannya karena masih memuat variabel $ x \, $. Sehingga kalimat (b) ini disebut "kalimat terbuka".
c). Diagonal-diagonal bangun datar persegi panjang saling berpotongan tegak lurus.
Diagonal-diagonal persegi panjang berpotongan tidak tegak lurus sehingga kalimat (c) "Salah".
Soal 2.
Natakan kalimat berikut ini dengan "kalimat terbuka" atau "kalimat tertutup".
a). Hari ini adalah hari rabu.
b). Suatu bilangan dikurangi 2 hasilnya 6.
c). 4 kali $ p \, $ sama dengan 20.
d). Samarinda adalah ibukota provinsi Kalimantan Timur.
e). $ 2 + 3 = 6 $.
f). $ 4b - 9 = 4b - 9 $.
a). Hari ini adalah hari rabu.
b). Suatu bilangan dikurangi 2 hasilnya 6.
c). 4 kali $ p \, $ sama dengan 20.
d). Samarinda adalah ibukota provinsi Kalimantan Timur.
e). $ 2 + 3 = 6 $.
f). $ 4b - 9 = 4b - 9 $.
Penyelesaian :
*). Pengertian kalimat terbuka dan kalimat tertutup yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel,
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa ditentukan kebenarannya (apakah kalimat itu sudah benar atau sudah salah).
Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan kebenarannya (salah saja atau benar saja).
a). Hari ini adalah hari rabu.
Termasuk "kalimat terbuka" karena kita belum tau pasti hari ini hari apa.
b). Suatu bilangan dikurangi 2 hasilnya 6.
Termasuk "kalimat terbuka" karena kita belum tau pasti bilangan yang dimaksud nilainya berapa.
c). 4 kali $ p \, $ sama dengan 20.
Termasuk "kalimat terbuka" karena memuat variabel yang kita belum tau nilai pastinya.
d). Samarinda adalah ibukota provinsi Kalimantan Timur.
Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti benar.
e). $ 2 + 3 = 6 $.
Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti salah.
f). $ 4b - 9 = 4b - 9 $. Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti benar.
*). Pengertian kalimat terbuka dan kalimat tertutup yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel,
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa ditentukan kebenarannya (apakah kalimat itu sudah benar atau sudah salah).
Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan kebenarannya (salah saja atau benar saja).
a). Hari ini adalah hari rabu.
Termasuk "kalimat terbuka" karena kita belum tau pasti hari ini hari apa.
b). Suatu bilangan dikurangi 2 hasilnya 6.
Termasuk "kalimat terbuka" karena kita belum tau pasti bilangan yang dimaksud nilainya berapa.
c). 4 kali $ p \, $ sama dengan 20.
Termasuk "kalimat terbuka" karena memuat variabel yang kita belum tau nilai pastinya.
d). Samarinda adalah ibukota provinsi Kalimantan Timur.
Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti benar.
e). $ 2 + 3 = 6 $.
Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti salah.
f). $ 4b - 9 = 4b - 9 $. Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti benar.
Soal 3.
Manakah di bawah ini yang merupakan persamaan linear satu variabel (PLSV):
a). $ 2x - 4 = 8 $
b). $ -4 + 3s = 24 $
c). $ -8 - d^2 = 32 $
d). $ 5(u-2) = u - 2 $
a). $ 2x - 4 = 8 $
b). $ -4 + 3s = 24 $
c). $ -8 - d^2 = 32 $
d). $ 5(u-2) = u - 2 $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 4 = 8 $
Variabelnya $ x \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.
b). $ -4 + 3s = 24 $
Variabelnya $ s \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.
c). $ -8 - d^2 = 32 $
Variabelnya $ d \, $ dengan pangkat 2, sehingga bukan termasuk PLSV.
d). $ 5(u-2) = u - 2 $
Variabelnya $ u \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.
a). $ 2x - 4 = 8 $
Variabelnya $ x \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.
b). $ -4 + 3s = 24 $
Variabelnya $ s \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.
c). $ -8 - d^2 = 32 $
Variabelnya $ d \, $ dengan pangkat 2, sehingga bukan termasuk PLSV.
d). $ 5(u-2) = u - 2 $
Variabelnya $ u \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.
Soal 4.
Tentukan nilai $ x \, $ , jika
$ (2x+1)+(2x+2)+(2x+3)+...+(2x+50) = 4.275 $
$ (2x+1)+(2x+2)+(2x+3)+...+(2x+50) = 4.275 $
Penyelesaian :
*). Menentukan jumlah dari $ 1 + 2 + 3 + ... + 50 \, $ dengan 50 bilangan.
Misalkan hasil penjumlahannya :
$ 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 = p $
yang akan sama juga dengan $ 50 + 49 + 48 + ... + 3 + 2 + 1 = p $.
Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} p = 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 & \\ p = 50 + 49 + 48 + ... + 3 + 2 + 1 & + \\ \hline 2p = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} & \\ \end{array} $
*). Dari bentuk $ 2p = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} \, $
$ \begin{align} 2p & = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} \\ 2p & = 50 \times 51 \\ p & = \frac{50 \times 51 }{2} \\ p & = 25 \times 51 \\ p & = 1275 \end{align} $
Artinya nilai $ 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 = p = 1275 $.
Sebenarnya ada rumus untuk menghitung deret ini yaitu menggunakan deret aritmatika yang akan adik-adik pelajari di kelas IX SMP.
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} (2x+1)+(2x+2)+(2x+3)+...+(2x+50) & = 4.275 \\ \text{(kelompokan bentuk } 2x) & \\ (\underbrace{2x + 2x + ...+ 2x}_{\text{sebanyak } 50} ) + ( \underbrace{1 + 2 + 3 + ...+ 50}_{\text{sebanyak } 50} ) & = 4.275 \\ 50 \times (2x) + 1275 & = 4.275 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 1275)} & \\ 100x + 1275 - 1275 = 4.275 & - 1275 \\ 100x & = 4000 \\ \text{(kedua ruas dibagi 100)} & \\ \frac{100x}{100} & = \frac{4000}{100} \\ x & = 40 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ adalah 40.
*). Menentukan jumlah dari $ 1 + 2 + 3 + ... + 50 \, $ dengan 50 bilangan.
Misalkan hasil penjumlahannya :
$ 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 = p $
yang akan sama juga dengan $ 50 + 49 + 48 + ... + 3 + 2 + 1 = p $.
Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} p = 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 & \\ p = 50 + 49 + 48 + ... + 3 + 2 + 1 & + \\ \hline 2p = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} & \\ \end{array} $
*). Dari bentuk $ 2p = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} \, $
$ \begin{align} 2p & = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} \\ 2p & = 50 \times 51 \\ p & = \frac{50 \times 51 }{2} \\ p & = 25 \times 51 \\ p & = 1275 \end{align} $
Artinya nilai $ 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 = p = 1275 $.
Sebenarnya ada rumus untuk menghitung deret ini yaitu menggunakan deret aritmatika yang akan adik-adik pelajari di kelas IX SMP.
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} (2x+1)+(2x+2)+(2x+3)+...+(2x+50) & = 4.275 \\ \text{(kelompokan bentuk } 2x) & \\ (\underbrace{2x + 2x + ...+ 2x}_{\text{sebanyak } 50} ) + ( \underbrace{1 + 2 + 3 + ...+ 50}_{\text{sebanyak } 50} ) & = 4.275 \\ 50 \times (2x) + 1275 & = 4.275 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 1275)} & \\ 100x + 1275 - 1275 = 4.275 & - 1275 \\ 100x & = 4000 \\ \text{(kedua ruas dibagi 100)} & \\ \frac{100x}{100} & = \frac{4000}{100} \\ x & = 40 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ adalah 40.
Soal 5.
Pesawat mula-mula terbang pada ketinggian 3.500 kaki di atas permukaan laut. Karena gumpalan awan, pesawat terbang naik sampai ketinggian 8000 kaki. Tentukan kenaikan posisi pesawat. ?
Penyelesaian :
*). Menyusun model matematikanyan,
Misalkan $ x \, $ menyatakan kenaikan posisi pesawat dari ketinggian 3.500 kaki sampi 8.000 kaki.
Persamaan linear satu variabelnya yaitu : $ 3.500 + x = 8.000 $
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 3.500 + x & = 8.000 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 3.500)} & \\ 3.500 + x - 3.500 & = 8.000 - 3.500 \\ x & = 4.500 \end{align} $
Jadi, pesawat terbang mengalami kenaikan sebesar 4.500 kaki dari ketinggian 3.500 kaki sebelumnya.
*). Menyusun model matematikanyan,
Misalkan $ x \, $ menyatakan kenaikan posisi pesawat dari ketinggian 3.500 kaki sampi 8.000 kaki.
Persamaan linear satu variabelnya yaitu : $ 3.500 + x = 8.000 $
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 3.500 + x & = 8.000 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 3.500)} & \\ 3.500 + x - 3.500 & = 8.000 - 3.500 \\ x & = 4.500 \end{align} $
Jadi, pesawat terbang mengalami kenaikan sebesar 4.500 kaki dari ketinggian 3.500 kaki sebelumnya.
Soal 6.
Harga 1 kg alpukat satu bulan yang lalu RP 6.000,00. Karena sekarang musim alpukat, harganya dipasaran turun hingga Rp 2.000,00 per kg. Coba tentukan harga penurunan alpukat dengan penjumlahan bilangan bulat.
Penyelesaian :
*). Misalkan $ y \, $ menyatakan harga penurunan alpukat.
Harganya dari 6.000 turun menjadi 2.000 artinya dikurangkan sebesar $ y \, $,
Sehingga persamaannya : $ 6000- y = 2000 $.
*). Menentukan nilai $ y $,
$ \begin{align} 6000- y & = 2000 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 6000)} \\ 6000- y - 6000 & = 2000 - 6000 \\ -y & = - 4000 \\ y & = 4000 \end{align} $
Jadi, terjadi penurunan sebesar Rp 4.000,00.
*). Misalkan $ y \, $ menyatakan harga penurunan alpukat.
Harganya dari 6.000 turun menjadi 2.000 artinya dikurangkan sebesar $ y \, $,
Sehingga persamaannya : $ 6000- y = 2000 $.
*). Menentukan nilai $ y $,
$ \begin{align} 6000- y & = 2000 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 6000)} \\ 6000- y - 6000 & = 2000 - 6000 \\ -y & = - 4000 \\ y & = 4000 \end{align} $
Jadi, terjadi penurunan sebesar Rp 4.000,00.
Soal 7.
Jumlah dua bilangan asli genap berurutan adalah 40. Jika bilangan pertama adalah $ a \, $, maka
a). Tentukan bilangan kedua dalam $ a $,
b). Susunlah persamaan dalam $ a \, $ , kemudian selesaikanlah,
c). Tentukan kedua bilangan itu.
a). Tentukan bilangan kedua dalam $ a $,
b). Susunlah persamaan dalam $ a \, $ , kemudian selesaikanlah,
c). Tentukan kedua bilangan itu.
Penyelesaian :
a). Bilangan genap berurutan pasti memiliki selisih 2 antara dua bilangan yang berdekatan, artinya bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan 2 pada bilangan sebelumnya. Misalnya : 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya.
Bilangan pertama adalah $ a \, $ , maka
bilangan kedua adalah $ a + 2 $.
b). Jumlh kedua bilangan adalah 40,
$ \begin{align} \text{bilangan pertama } + \text{ bilangan kedua } & = 40 \\ a + (a + 2) & = 40 \\ 2a + 2 & = 40 \end{align} $
Sehingga persamaannya dalam $ a \, $ adalah $ 2a + 2 = 40 $.
*). Menyelesaikan persamaannya,
$ \begin{align} 2a + 2 & = 40 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2a + 2 - 2 & = 40 - 2 \\ 2a & = 38 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2 )} \\ \frac{2a}{2} & = \frac{38}{2} \\ a & = 19 \end{align} $
Sehingga kita peroleh nilai $ a = 19 $.
Catatan : Ternyata pada soal ini yang diminta bukan jumlah bilangan genap berurutan, akan tetapi bilangan ganjil berurutan. Mungkin ada kesalahan pengetikan dari pihak pembuat soalnya.
c). Menentukan kedua bilangannya,
Bilangan pertama adalah $ a = 19 \, $ , maka
bilangan kedua adalah $ a + 2 = 19 + 2 = 21 $.
a). Bilangan genap berurutan pasti memiliki selisih 2 antara dua bilangan yang berdekatan, artinya bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan 2 pada bilangan sebelumnya. Misalnya : 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya.
Bilangan pertama adalah $ a \, $ , maka
bilangan kedua adalah $ a + 2 $.
b). Jumlh kedua bilangan adalah 40,
$ \begin{align} \text{bilangan pertama } + \text{ bilangan kedua } & = 40 \\ a + (a + 2) & = 40 \\ 2a + 2 & = 40 \end{align} $
Sehingga persamaannya dalam $ a \, $ adalah $ 2a + 2 = 40 $.
*). Menyelesaikan persamaannya,
$ \begin{align} 2a + 2 & = 40 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2a + 2 - 2 & = 40 - 2 \\ 2a & = 38 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2 )} \\ \frac{2a}{2} & = \frac{38}{2} \\ a & = 19 \end{align} $
Sehingga kita peroleh nilai $ a = 19 $.
Catatan : Ternyata pada soal ini yang diminta bukan jumlah bilangan genap berurutan, akan tetapi bilangan ganjil berurutan. Mungkin ada kesalahan pengetikan dari pihak pembuat soalnya.
c). Menentukan kedua bilangannya,
Bilangan pertama adalah $ a = 19 \, $ , maka
bilangan kedua adalah $ a + 2 = 19 + 2 = 21 $.
Soal 8.
Lina menyiapkan 40 kotak kue untuk ulang tahunnya. Kue tersebut dibawa ke kelas untuk dibagikan ke teman sekelasnya masing-masing mendapatkan satu kotak kue. karena ada temannya yang tidak masuk, maka ada kotak kue yang tersisa.
a). Buatlah kalimat pernyataan yang menyatakan banyaknya kue yang dibagikan dengan murid yang tidak masuk.
b). Bila yang tidak masuk 3 orang, berapakah kotak kue yang dibagikan.
a). Buatlah kalimat pernyataan yang menyatakan banyaknya kue yang dibagikan dengan murid yang tidak masuk.
b). Bila yang tidak masuk 3 orang, berapakah kotak kue yang dibagikan.
Penyelesaian :
a). Misalkan yang tidak masuk sebanyak $ x $,
Kalimat pernyataannya adalah : dari 40 kotak kue ternyata ada $ x \, $ orang yang tidak mendapat bagian (karena tidak masuk), sehingga kotak kue yang dibagikan sebanyak $ 40 - x $.
b). Yang tidak masuk ada 3 orang, artinya $ x = 3 $,
sehingga banyak kotak kue yang dibagikan yaitu $ 40 - x = 40 - 3 = 37 $ .
Jadi, ada 37 kotak kue yang dibagikan.
a). Misalkan yang tidak masuk sebanyak $ x $,
Kalimat pernyataannya adalah : dari 40 kotak kue ternyata ada $ x \, $ orang yang tidak mendapat bagian (karena tidak masuk), sehingga kotak kue yang dibagikan sebanyak $ 40 - x $.
b). Yang tidak masuk ada 3 orang, artinya $ x = 3 $,
sehingga banyak kotak kue yang dibagikan yaitu $ 40 - x = 40 - 3 = 37 $ .
Jadi, ada 37 kotak kue yang dibagikan.