Sebelumnya kita telah belajar tentang "Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial" yang merupakan salah satu bagian dari kaidah pencacahan. Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Permutasi pada Peluang dan Contohnya yang juga merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Permutasi dibagi menjadi tiga yaitu permutasi dengan unsur yang berbeda, permutasi yang memuat beberapa unsur sama, dan permutasi siklis.
Contoh soal permutasi dengan unsur berbeda :
1). Tentukanlah nilai permutasi berikut,
a). $ P_3^7 $
b). $ P_5^5 $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} P_3^7 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210 \end{align} $
b). $ \begin{align} P_5^5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \end{align} $
2). Tentukan nilai $ n \, $ pada persamaan $ P_2^{(n-1)} = 20 $.
Penyelesaian :
$ \begin{align} P_2^{(n-1)} & = 20 \\ \frac{(n-1)!}{[(n-1)-2]!} & = 20 \\ \frac{(n-1)!}{(n-3)!} & = 20 \\ \frac{(n-1) \times (n-2) \times (n-3)!}{(n-3)!} & = 20 \\ (n-1) \times (n-2) & = 20 \\ n^2 - 3n + 2 & = 20 \\ n^2 - 3n -18 & = 0 \\ (n + 3)(n-6) & = 0 \\ n = -3 \vee n & = 6 \end{align} $
Karena $ n \, $ positif, maka yang memenuhi adalah $ n = 6 $.
Jadi, nilai $ n = 6 $.
3). Sekolah SMA Generasi Emas, setiap tahun mengadakan acara pentas seni. Biasanya 8 bulan sebelum acara akbar, para siswa melakukan pemilihan untuk jabatan ketua dan sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang mendaftarkan diri; yakni, Ayu (A), Beni (B), Charli (C), Dayu (D), dan Edo (E). Bagaimana kita mengetahui banyak cara memilih ketua dan sekretaris untuk acara pentas seni sekolah tersebut?
Penyelesaian :
Cara I : dengan cara mendaftar,
Seluruh kandidat yang mungkin dibuat dapat didaftarkan sebagai berikut:
AB BA CA DA EA
AC BC CB DB EB
AD BD CD DC EC
AE BE CE DE ED
Dari daftar di atas diperoleh banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara.
Cara II : dengan cara permutasi,
Jabatan yang akan diisi adalah ketua dan sekretaris, artinya kita akan memilih dua orang untuk kedua jabatan yang dipilih dari 5 orang yang tersedia, sehingga dalam permutasi ditulis $ P_2^5 $
$ \begin{align} P_2^5 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20 \end{align} $
Jadi, banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara.
4). Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka tanpa memuat angka yang sama dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan banyak pilihan nomor antrian dibuat dari:
a). Tiga angka pertama.
b). Empat angka yang tersedia.
Penyelesaian :
a). Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang dapat disusun adalah:
*). Cara mendaftar langsung :
123 132 213 231 312 321
Terdapat 6 angka kupon antrian.
*). Cara permutasi :
Kita memilih 3 angka dari 3 angka pertama yang tersedia :
$ \begin{align} P_3^3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \end{align} $
Terdapat 6 angka kupon antrian.
b). Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4, maka susunan nomor antrian yang diperoleh adalah:
*). Cara mendaftar langsung :
123 142 231 312 341 421
124 143 234 314 342 423
132 213 243 321 412 431
134 214 241 324 413 432
Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.
*). Cara permutasi :
Kita memilih 3 angka dari 4 angka yang tersedia :
$ \begin{align} P_3^4 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \end{align} $
Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.
5). Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilanganbilangan tersebut yang kurang
a). dari 500
b). dari 600
Penyelesaian :
a). Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu angka 4.
*). Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8. Ini berarti Kita harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu
$ \begin{align} P_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \end{align} $
Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500.
b). Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5. Artinya untuk angka ratusan ada dua pilihan angka.
*). Untuk angka puluhan dan satuan kita pilih dari sisa angka yang sudah dipakai untuk ratusan yaitu tersisa 4 angka karena satu angka sudah dipakai pada angka ratusan, ni berarti Kita harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu
$ \begin{align} P_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \end{align} $
Sehingga total banyaknya bilangan yang kurang dari 600 $ = 2 \times 12 = 24 $.
Jadi, terdapat 24 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 600.
6). Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C).
*). Cara mendaftar dengan diagram kemungkinan susunan pengurus :
dari diagram, ada 6 kemungkinan kepengurusan yang terbentuk.
*). Cara permutasi :
Ada tiga orang yaitu Abdul, Beny, dan Cindi akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara, artinya permutasi 3 unsur dari 3 unsur :
$ \begin{align} P_3^3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \end{align} $
Jadi, ada 6 kemungkinan kepengurusan yang terbentuk.
Contoh permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama :
7). Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata APA?
Penyelesaian :
*). Kata-kata yang terbentuk tidak harus bermakna.
*). Kata APA terdiri dari 3 huruf yaitu A, P, dan A yang akan kita susun ulang sehingga membentuk kata baru yang tetap terdiri dari 3 huruf tersebut.
*). Cara Mendaftar langsung :
*). Tersedia 3 unsur; yakni, huruf-huruf A, P, dan A. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama; yaitu, huruf A.
*). Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Oleh karena itu, hurufhuruf yang sama (huruf A) diberi label A$_1$, dan A$_2$.
*). Banyak permutasi dari 3 unsur yang melibatkan 2 unsur yang sama adalah:
A$_1$PA$_2$, A$_2$PA$_1$, A$_1$A$_2$P, A$_2$A$_1$P, PA$_1$A$_2$, PA$_2$A$_1$.
*). Kita hapus label yang ada, sehingga :
Kelompok A$_1$PA$_2$ dan A$_2$PA$_1$, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi APA .
Kelompok A$_1$A$_2$P dan A$_2$A$_1$P, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi AAP .
Kelompok PA$_1$A$_2$ dan PA$_2$A$_1$, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi PAA .
Karena ada unsur yang sama (A dua kali), maka sebenarnya permutasi dari kata APA hanya ada tiga yaitu APA, AAP, dan PAA.
Jadi, ada 3 susunan kata baru yang diperoleh dari kata APA.
*). Cara permutasi unsur sama :
Kata APA memuat 2 unsur yang sama yaitu huruf A, dan kata APA terdiri dari 3 huruf. Sehingga total huruf baru yang terbentuk adalah
$ \begin{align} P_{2}^3 = \frac{3!}{2! } = \frac{3 \times 2!}{2! } = 3 \end{align} $
Jadi, ada 3 susunan kata baru yang diperoleh dari kata APA.
8). Berapa banyak kata dapat disusun dari kata:
a). AGUSTUS
b). GAJAH MADA
c). MATEMATIKA
d). RABU
Penyelesaian :
a). Kata AGUSTUS
Banyaknya huruf = 7, banyaknya S = 2, dan banyaknya U = 2.
$ \begin{align} P_{2,2}^7 = \frac{7!}{2! . 2! } = \frac{7.6.5.4.3.2.1 }{(2.1).(2.1) } = 1260 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata AGUSTUS adalah 1.260 kata.
b). Kata GAJAH MADA
Banyaknya huruf = 9, banyaknya A = 4
$ \begin{align} P_{4}^9 = \frac{9!}{4! } = 15120 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata GAJAH MADA adalah 15.120 kata.
c). Kata MATEMATIKA
Banyaknya huruf = 10, banyaknya A = 3, banyaknya M = 2, dan banyaknya T = 2.
$ \begin{align} P_{3,2,2}^{10} = \frac{10!}{3!. 2! . 2! } = \frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 }{(3.2.1).(2.1).(2.1) } = 151200 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata MATEMATIKA adalah 151200 kata.
b). Kata RABU
Banyaknya huruf = 4, dan tidak ada yang sama
$ \begin{align} P_{1}^4 = \frac{4!}{1! } = 4! = 4.3.2.1 = 24 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata RABU adalah 24 kata.
9). Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun dari angka 2275 yang terdiri dari empat angka?
Penyelesaian :
*). Kita akan menyusun angka yang terdiri dari 4 angka yang disusun dari angka-angka 2,2,7,5.
*). Cara mendaftar langsung dengan diagram :
Sehingga banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.
*). Cara permutasi unsur yang sama.
Angkanya 2275, banyaknya angka = 4 dan banyak angka 2 ada 2.
$ \begin{align} P_{2}^4 = \frac{4!}{2! } = 4 . 3 = 12 \end{align} $
Jadi, banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.
10). Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka: 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7
Penyelesaian :
Banyaknya angka = 7, banyaknya angka 4 ada 3, banyaknya angka 5 ada 3.
$ \begin{align} P_{3,3}^{7} = \frac{7!}{3!. 3! } = \frac{ 7.6.5.4.3.2.1 }{(3.2.1).(3.2.1) } = 140 \end{align} $
Jadi, banyaknya bilangan 7 angka dari angka-angka: 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7 adalah 140 angka.
Contoh soal permutasi siklis :
11). Dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. Tentukan banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar tersebut?
Penyelesaian :
*). Misalkan si A kita anggap sebagai titik acuan, maka susunan duduk yang akan kita peroleh seperti gambar berikut ini dengan arah putaran searah jarum jam.
*). Dari gambar di atas, ternyata hanya ada 6 susunan duduk berbeda yang kita peroleh dari empat orang yang duduk melingkar.
*). Untuk cara membaca searah jarum jam :
perhatikan gambar (1), susunan duduknya : ABCD, BCDA, CDAB, DABC
Akan tetapi keempat susunan duduk ini sebenarnya sama saja seperti gambar (1), hanya cara membacanya saja empat cara.
perhatikan gambar (2), susunan duduknya : ABDC, BDCA, DCAB, CABD
Akan tetapi keempat susunan duduk ini sebenarnya sama saja seperti gambar (2), hanya cara membacanya saja empat cara.
Begitu seterusnya untuk gambar (3) sampai gambar (6).
*). Cara permutasi siklis :
Ada 4 orang duduk melingkar, maka semua susunan duduk berbeda adalah :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 $
Jadi, ada 6 susunan duduk berbeda ketika ada 4 orang duduk melingkar.
12). Seorang direktor bank swasta yang berkantor di Jakarta akan melakukan rotasi kepala cabang yang terdapat di 5 kota besar, yaitu Fahmi (Jakarta), Cintha (Surabaya), Trisnawati (Bandung), Novand (Medan), dan Rahmat (Padang). Dia meminta staff ahlinya untuk menyusun pilihan-pilihan yang mungkin untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya. Bantulah staff ahli tersebut untuk menyusun pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita anggap nama-nama kota sebagai kursi tempat duduk kelima kepala cabang tersebut. Ini artinya kita akan menentukan banyaknya susunan duduk yang berbeda dari 5 orang yang duduk melingkar yaitu sebanyak :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 $
Jadi, ada 24 susunan rotasi yang mungkin yang bisa dilakukan oleh direktor bank tersebut.
13). Berapa cara yang mungkin dapat dibuat jika dalam suatu pesta makan terdapat 7 orang yang duduk dalam :
a). berjajar dalam satu baris,
b). meja makan bundar.
Penyelesaian :
a). Posisi duduk berjajar dalam satu baris merupakan permutasi 7 unsur dari 7 unsur atau kita memilih 7 orang untuk kita tempatkan pada 7 kursi berjajar yaitu :
$ \begin{align} P_7^7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 \end{align} \, $ cara.
soal (a) ini menggunakan permutasi unsur berbeda.
b). Duduk di meja bundar, artinya permutasi siklis 7 unsur.
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (7-1)! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 \, $ cara.
14). Wati dan Indah beserta 3 teman lainnya duduk melingkar pada meja bundar. Tentukan banyak susunan duduk berbeda jika Wati dan Indah selalu bersama.
Penyelesaian :
*). Syaratnya Wati dan Indah harus selalu bersama, maka kita blok mereka dan kita anggap satu orang sehingga sekarang totalnya ada 4 orang.
*). kita gunakan permutasi siklis 4 unsur :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 \, $ cara.
*). Dua orang yang kita blog (Wati dan Indah) bisa ditukar-tukar posisinya yaitu Wati-Indah atau Indah-Wati, yaitu ada 2 cara.
*). Total cara duduk $ = 2 \times 6 = 12 \, $ cara.
Jadi, total susunan duduk melingkar agar Wati dan Indah selalu bersama adalah 12 cara.
Catatan : Kenapa harus di blok kedua orang tersebut? dengan kita blok, maka pasti dijamin mereka akan selalu bersama.
Permutasi dengan unsur yang berbeda
Permutasi adalah cara penyusunan suatu percobaan atau suatu kejadian yang memperhatikan "URUTAN". Misalkan kita memilih dua orang yang akan menjadi ketua dan bendahara, dan yang terpilih adalah si A dan B. Jika si A menjadi ketua dan si B menjadi bendahara maka susunan ini akan berbeda dengan si B menjadi ketua dan si A menjadi bendahara, atau secara singkat "URUTAN" sangat mempengaruhi sehingga AB $ \neq \, $ BA pada permutasi. Contoh-contoh kejadian yang merupakan permutasi atau kejadian yang memperhatikan "URUTAN" yaitu pemilihan kepengurusan, penyusunan cara duduk, posisi dalam berfoto, menyusun angka, menusun plat nomor, dan pemilihan juara dalam lomba.
Permutasi $ k $ unsur dari $ n \, $ unsur yang tersedia biasanya dituliskan $ P_k^n \, $ atau $ \, _nP_k \, $ atau $ P(n,k) \, $ dengan $ k \leq n \, $ .
Cara penghitungannya :
*). Permutasi $ k $ unsur dari $ n \, $ unsur : $ P_k^n = \frac{n!}{(n-k)!} $
*). Permutasi $ n $ unsur dari $ n \, $ unsur : $ P_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! $
Keterangan :
$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ...\times 3 \times 2 \times 1 \, $ dan $ 0! = 1 $.
$ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial".
Permutasi dengan unsur yang berbeda maksudnya unsur-unsur yang mau kita susun semuanya berbeda. Misalkan ada 5 orang akan kita pilih 3 orang untuk menjadi pengurus osis, maka yang dimaksud berbeda adalah setiap orang dari 5 orang tersebut berbeda semua tidak ada yang sama. contoh lain, kita misalkan mau menyusun bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8, artinya angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8 semuanya berbeda. Contoh permutasi yang unsurnya tidak berbeda adalah misalkan kita menyusun 4 angka yang dipilih dari angka-angka 2,3,3,5, artinya dari angka-angka 2,3,3,5 ada yang sama yaitu angka 3.
Permutasi $ k $ unsur dari $ n \, $ unsur yang tersedia biasanya dituliskan $ P_k^n \, $ atau $ \, _nP_k \, $ atau $ P(n,k) \, $ dengan $ k \leq n \, $ .
Cara penghitungannya :
*). Permutasi $ k $ unsur dari $ n \, $ unsur : $ P_k^n = \frac{n!}{(n-k)!} $
*). Permutasi $ n $ unsur dari $ n \, $ unsur : $ P_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! $
Keterangan :
$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ...\times 3 \times 2 \times 1 \, $ dan $ 0! = 1 $.
$ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial".
Permutasi dengan unsur yang berbeda maksudnya unsur-unsur yang mau kita susun semuanya berbeda. Misalkan ada 5 orang akan kita pilih 3 orang untuk menjadi pengurus osis, maka yang dimaksud berbeda adalah setiap orang dari 5 orang tersebut berbeda semua tidak ada yang sama. contoh lain, kita misalkan mau menyusun bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8, artinya angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8 semuanya berbeda. Contoh permutasi yang unsurnya tidak berbeda adalah misalkan kita menyusun 4 angka yang dipilih dari angka-angka 2,3,3,5, artinya dari angka-angka 2,3,3,5 ada yang sama yaitu angka 3.
1). Tentukanlah nilai permutasi berikut,
a). $ P_3^7 $
b). $ P_5^5 $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} P_3^7 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210 \end{align} $
b). $ \begin{align} P_5^5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \end{align} $
2). Tentukan nilai $ n \, $ pada persamaan $ P_2^{(n-1)} = 20 $.
Penyelesaian :
$ \begin{align} P_2^{(n-1)} & = 20 \\ \frac{(n-1)!}{[(n-1)-2]!} & = 20 \\ \frac{(n-1)!}{(n-3)!} & = 20 \\ \frac{(n-1) \times (n-2) \times (n-3)!}{(n-3)!} & = 20 \\ (n-1) \times (n-2) & = 20 \\ n^2 - 3n + 2 & = 20 \\ n^2 - 3n -18 & = 0 \\ (n + 3)(n-6) & = 0 \\ n = -3 \vee n & = 6 \end{align} $
Karena $ n \, $ positif, maka yang memenuhi adalah $ n = 6 $.
Jadi, nilai $ n = 6 $.
3). Sekolah SMA Generasi Emas, setiap tahun mengadakan acara pentas seni. Biasanya 8 bulan sebelum acara akbar, para siswa melakukan pemilihan untuk jabatan ketua dan sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang mendaftarkan diri; yakni, Ayu (A), Beni (B), Charli (C), Dayu (D), dan Edo (E). Bagaimana kita mengetahui banyak cara memilih ketua dan sekretaris untuk acara pentas seni sekolah tersebut?
Penyelesaian :
Cara I : dengan cara mendaftar,
Seluruh kandidat yang mungkin dibuat dapat didaftarkan sebagai berikut:
AB BA CA DA EA
AC BC CB DB EB
AD BD CD DC EC
AE BE CE DE ED
Dari daftar di atas diperoleh banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara.
Cara II : dengan cara permutasi,
Jabatan yang akan diisi adalah ketua dan sekretaris, artinya kita akan memilih dua orang untuk kedua jabatan yang dipilih dari 5 orang yang tersedia, sehingga dalam permutasi ditulis $ P_2^5 $
$ \begin{align} P_2^5 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20 \end{align} $
Jadi, banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara.
4). Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka tanpa memuat angka yang sama dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan banyak pilihan nomor antrian dibuat dari:
a). Tiga angka pertama.
b). Empat angka yang tersedia.
Penyelesaian :
a). Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang dapat disusun adalah:
*). Cara mendaftar langsung :
123 132 213 231 312 321
Terdapat 6 angka kupon antrian.
*). Cara permutasi :
Kita memilih 3 angka dari 3 angka pertama yang tersedia :
$ \begin{align} P_3^3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \end{align} $
Terdapat 6 angka kupon antrian.
b). Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4, maka susunan nomor antrian yang diperoleh adalah:
*). Cara mendaftar langsung :
123 142 231 312 341 421
124 143 234 314 342 423
132 213 243 321 412 431
134 214 241 324 413 432
Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.
*). Cara permutasi :
Kita memilih 3 angka dari 4 angka yang tersedia :
$ \begin{align} P_3^4 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \end{align} $
Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.
5). Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilanganbilangan tersebut yang kurang
a). dari 500
b). dari 600
Penyelesaian :
a). Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu angka 4.
*). Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8. Ini berarti Kita harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu
$ \begin{align} P_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \end{align} $
Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500.
b). Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5. Artinya untuk angka ratusan ada dua pilihan angka.
*). Untuk angka puluhan dan satuan kita pilih dari sisa angka yang sudah dipakai untuk ratusan yaitu tersisa 4 angka karena satu angka sudah dipakai pada angka ratusan, ni berarti Kita harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu
$ \begin{align} P_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \end{align} $
Sehingga total banyaknya bilangan yang kurang dari 600 $ = 2 \times 12 = 24 $.
Jadi, terdapat 24 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 600.
6). Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C).
*). Cara mendaftar dengan diagram kemungkinan susunan pengurus :
*). Cara permutasi :
Ada tiga orang yaitu Abdul, Beny, dan Cindi akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara, artinya permutasi 3 unsur dari 3 unsur :
$ \begin{align} P_3^3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \end{align} $
Jadi, ada 6 kemungkinan kepengurusan yang terbentuk.
Permutasi yang memuat beberapa unsur sama
Misalkan dari $ n \, $ unsur terdapat $ k_1, k_2, k_3, ....,k_t \, $ unsur yang sama dengan $ k_1 + k_2 + k_3 + ... + k_t \leq n $ . Banyak permutasi dari $ n \, $ unsur tersebut adalah :
$ \begin{align} P_{(k_1,k_2,k_3,...,k_t)}^n = \frac{n!}{k_1! \times k_2! \times k_3! \times ... \times k_t! } \end{align} $
$ \begin{align} P_{(k_1,k_2,k_3,...,k_t)}^n = \frac{n!}{k_1! \times k_2! \times k_3! \times ... \times k_t! } \end{align} $
7). Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata APA?
Penyelesaian :
*). Kata-kata yang terbentuk tidak harus bermakna.
*). Kata APA terdiri dari 3 huruf yaitu A, P, dan A yang akan kita susun ulang sehingga membentuk kata baru yang tetap terdiri dari 3 huruf tersebut.
*). Cara Mendaftar langsung :
*). Tersedia 3 unsur; yakni, huruf-huruf A, P, dan A. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama; yaitu, huruf A.
*). Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Oleh karena itu, hurufhuruf yang sama (huruf A) diberi label A$_1$, dan A$_2$.
*). Banyak permutasi dari 3 unsur yang melibatkan 2 unsur yang sama adalah:
A$_1$PA$_2$, A$_2$PA$_1$, A$_1$A$_2$P, A$_2$A$_1$P, PA$_1$A$_2$, PA$_2$A$_1$.
*). Kita hapus label yang ada, sehingga :
Kelompok A$_1$PA$_2$ dan A$_2$PA$_1$, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi APA .
Kelompok A$_1$A$_2$P dan A$_2$A$_1$P, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi AAP .
Kelompok PA$_1$A$_2$ dan PA$_2$A$_1$, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi PAA .
Karena ada unsur yang sama (A dua kali), maka sebenarnya permutasi dari kata APA hanya ada tiga yaitu APA, AAP, dan PAA.
Jadi, ada 3 susunan kata baru yang diperoleh dari kata APA.
*). Cara permutasi unsur sama :
Kata APA memuat 2 unsur yang sama yaitu huruf A, dan kata APA terdiri dari 3 huruf. Sehingga total huruf baru yang terbentuk adalah
$ \begin{align} P_{2}^3 = \frac{3!}{2! } = \frac{3 \times 2!}{2! } = 3 \end{align} $
Jadi, ada 3 susunan kata baru yang diperoleh dari kata APA.
8). Berapa banyak kata dapat disusun dari kata:
a). AGUSTUS
b). GAJAH MADA
c). MATEMATIKA
d). RABU
Penyelesaian :
a). Kata AGUSTUS
Banyaknya huruf = 7, banyaknya S = 2, dan banyaknya U = 2.
$ \begin{align} P_{2,2}^7 = \frac{7!}{2! . 2! } = \frac{7.6.5.4.3.2.1 }{(2.1).(2.1) } = 1260 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata AGUSTUS adalah 1.260 kata.
b). Kata GAJAH MADA
Banyaknya huruf = 9, banyaknya A = 4
$ \begin{align} P_{4}^9 = \frac{9!}{4! } = 15120 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata GAJAH MADA adalah 15.120 kata.
c). Kata MATEMATIKA
Banyaknya huruf = 10, banyaknya A = 3, banyaknya M = 2, dan banyaknya T = 2.
$ \begin{align} P_{3,2,2}^{10} = \frac{10!}{3!. 2! . 2! } = \frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 }{(3.2.1).(2.1).(2.1) } = 151200 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata MATEMATIKA adalah 151200 kata.
b). Kata RABU
Banyaknya huruf = 4, dan tidak ada yang sama
$ \begin{align} P_{1}^4 = \frac{4!}{1! } = 4! = 4.3.2.1 = 24 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata RABU adalah 24 kata.
9). Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun dari angka 2275 yang terdiri dari empat angka?
Penyelesaian :
*). Kita akan menyusun angka yang terdiri dari 4 angka yang disusun dari angka-angka 2,2,7,5.
*). Cara mendaftar langsung dengan diagram :
*). Cara permutasi unsur yang sama.
Angkanya 2275, banyaknya angka = 4 dan banyak angka 2 ada 2.
$ \begin{align} P_{2}^4 = \frac{4!}{2! } = 4 . 3 = 12 \end{align} $
Jadi, banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.
10). Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka: 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7
Penyelesaian :
Banyaknya angka = 7, banyaknya angka 4 ada 3, banyaknya angka 5 ada 3.
$ \begin{align} P_{3,3}^{7} = \frac{7!}{3!. 3! } = \frac{ 7.6.5.4.3.2.1 }{(3.2.1).(3.2.1) } = 140 \end{align} $
Jadi, banyaknya bilangan 7 angka dari angka-angka: 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7 adalah 140 angka.
Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Pada permutasi siklis salah satu unsur dijadikan ditetapkan sebagai titik acuan.
Misalkan dari $ n $ unsur yang berbeda yang tersusun melingkar. Banyak permutasi siklis dari $ n $ unsur tersebut dinyatakan:
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! $
Misalkan dari $ n $ unsur yang berbeda yang tersusun melingkar. Banyak permutasi siklis dari $ n $ unsur tersebut dinyatakan:
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! $
11). Dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. Tentukan banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar tersebut?
*). Misalkan si A kita anggap sebagai titik acuan, maka susunan duduk yang akan kita peroleh seperti gambar berikut ini dengan arah putaran searah jarum jam.
*). Untuk cara membaca searah jarum jam :
perhatikan gambar (1), susunan duduknya : ABCD, BCDA, CDAB, DABC
Akan tetapi keempat susunan duduk ini sebenarnya sama saja seperti gambar (1), hanya cara membacanya saja empat cara.
perhatikan gambar (2), susunan duduknya : ABDC, BDCA, DCAB, CABD
Akan tetapi keempat susunan duduk ini sebenarnya sama saja seperti gambar (2), hanya cara membacanya saja empat cara.
Begitu seterusnya untuk gambar (3) sampai gambar (6).
*). Cara permutasi siklis :
Ada 4 orang duduk melingkar, maka semua susunan duduk berbeda adalah :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 $
Jadi, ada 6 susunan duduk berbeda ketika ada 4 orang duduk melingkar.
12). Seorang direktor bank swasta yang berkantor di Jakarta akan melakukan rotasi kepala cabang yang terdapat di 5 kota besar, yaitu Fahmi (Jakarta), Cintha (Surabaya), Trisnawati (Bandung), Novand (Medan), dan Rahmat (Padang). Dia meminta staff ahlinya untuk menyusun pilihan-pilihan yang mungkin untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya. Bantulah staff ahli tersebut untuk menyusun pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita anggap nama-nama kota sebagai kursi tempat duduk kelima kepala cabang tersebut. Ini artinya kita akan menentukan banyaknya susunan duduk yang berbeda dari 5 orang yang duduk melingkar yaitu sebanyak :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 $
Jadi, ada 24 susunan rotasi yang mungkin yang bisa dilakukan oleh direktor bank tersebut.
13). Berapa cara yang mungkin dapat dibuat jika dalam suatu pesta makan terdapat 7 orang yang duduk dalam :
a). berjajar dalam satu baris,
b). meja makan bundar.
Penyelesaian :
a). Posisi duduk berjajar dalam satu baris merupakan permutasi 7 unsur dari 7 unsur atau kita memilih 7 orang untuk kita tempatkan pada 7 kursi berjajar yaitu :
$ \begin{align} P_7^7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 \end{align} \, $ cara.
soal (a) ini menggunakan permutasi unsur berbeda.
b). Duduk di meja bundar, artinya permutasi siklis 7 unsur.
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (7-1)! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 \, $ cara.
14). Wati dan Indah beserta 3 teman lainnya duduk melingkar pada meja bundar. Tentukan banyak susunan duduk berbeda jika Wati dan Indah selalu bersama.
Penyelesaian :
*). Syaratnya Wati dan Indah harus selalu bersama, maka kita blok mereka dan kita anggap satu orang sehingga sekarang totalnya ada 4 orang.
*). kita gunakan permutasi siklis 4 unsur :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 \, $ cara.
*). Dua orang yang kita blog (Wati dan Indah) bisa ditukar-tukar posisinya yaitu Wati-Indah atau Indah-Wati, yaitu ada 2 cara.
*). Total cara duduk $ = 2 \times 6 = 12 \, $ cara.
Jadi, total susunan duduk melingkar agar Wati dan Indah selalu bersama adalah 12 cara.
Catatan : Kenapa harus di blok kedua orang tersebut? dengan kita blok, maka pasti dijamin mereka akan selalu bersama.