Pertidaksamaan Kuadrat erat kaitannya dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, sebaiknya baca dulu materi "Pertidaksamaan secara umum" dan "sifat-sifat pertidaksamaan".
Contoh :
1). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 - x - 6 < 0 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Menentukan akar-akar
$ \begin{align} x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align} $
$\clubsuit $ Garis bilangan
Jadi, solusinya HP = $ \{ -2 < x < 3 \} $
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari
a). $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 \, \, \, $ b). $ -x^2 + 2x - 3 > 0 $
Penyelesaian :
a). $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 $
Bentuk $ 2x^2 - 3x + 4 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol. $ D = b^2 -4ac = (-3)^2 - 4.2.4 = 9 - 32 = - 23 $ . Diperoleh nilai $ a = 2 > 0 , \, $ dan nilai $ D < 0 $ . Karena nilai $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 , \, $ artinya terjadi kasusu definit positif, sehingga semua nilai $ x \, $ pasti memenuhi $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 \, $ (positif).
Jadi, solusinya HP = $ \{ x \in R \} \, $.
(artinya semua nilai $ x \, $ memenuhi pertidaksamaan)
b). $ -x^2 + 2x - 3 > 0 $
Bentuk $ -x^2 + 2x - 3 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya negatif. $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4.(-1).(-3) = 4 - 12 = -8 $
Diperoleh nilai $ a = -1 < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ . Karena nilai $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ artinya terjadi kasus definit negatif, sehingga untuk semua nilai $ x \, $ nilai $ -x^2 + 2x - 3 \, $ adalah negatif. ($ -x^2 + 2x - 3 < 0 $).
Sementara pada soal yang diminta adalah $ -x^2 + 2x - 3 > 0 \, $ (positif), sehingga tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ -x^2 + 2x - 3 > 0 . $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \} $ (Himpunan kosong).
3). Jika himpunan penyelesaian $ 2x^2 + 5x - 3 \geq 0 \, $ adalah $ x \leq a \, $ atau $ x \geq b, \, $
maka nilai $ 2b - a = ...$ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Menentukan akar-akar
$ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \rightarrow (2x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \vee x = -3 $
$\spadesuit $ Garis bilangannya
Jadi, HP = $ \{ x \leq -3 \vee x \geq \frac{1}{2} \} $
$\spadesuit $ Karena solusinya $ x \leq a \, $ atau $ x \geq b \, $ sama dengan $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq \frac{1}{2}, \, $ maka nilai $ a = -3 \, $ dan $ b = \frac{1}{2} $
Sehingga nilai $ 2b - a = 2 . \frac{1}{2} - (-3) = 1 + 3 = 4 $
Jadi, nilai $ 2b - a = 4 $
4). Tentukan nilai $ p \, $ agar setiap nilai $ x \, $ memenuhi pertidaksamaan $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0 $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Bentuk $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) \rightarrow a = p+1, \, b = 2, \, c = - \frac{p-4}{4} $
$\clubsuit $ Ini kasus definit positif karena setiap nilai $ x \, $ nilai $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0 \, $ selalu positif.
$\clubsuit $ Syarat definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
*). $ a > 0 \rightarrow p + 1 > 0 \rightarrow p > -1 \, $ ....(HP1)
*). $ D < 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ 2^2 - 4.(p+1).\left( - \frac{p-4}{4} \right) & < 0 \\ 4 + (p+1).(p-4) & < 0 \\ 4 + p^2 - 3p - 4 & < 0 \\ p^2 - 3p & < 0 \\ p(p-3) & < 0 \\ p = 0 \vee p & = 3 \end{align} $
HP2 = $ \{ 0 < p < 3 \} $
Sehingga solusinya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ p > -1 \} \cap \{ 0 < p < 3 \} = \{ 0 < p < 3 \} $
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 0 < p < 3 \} $
5). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, \, \, \, $ b. $(x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 $
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar dari $ (x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 $
*). Bentuk $ x^2-4x+5 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0 a="1" nilai=""> 0 \, $ , artinya $ x^2-4x+5 \, $ definit positif. Karena $ x^2-4x+5 \, $ definit positif, maka untuk setiap $ x \, $ tidak mempengaruhi pertidaksamaan, sehingga bisa diabaikan/dicoret dengan menganggap sebagai konstanta yang selalu positif. Pertidaksamaan menjadi :
$ (x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, $ ekuivalen(setara) dengan $ x^2+x-2 < 0 $
*). Menentukan akar-akar dari $ x^2+x-2 < 0 $
$ x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $
Jadi, solusinya HP = $\{ -2 < x < 1 \} $
b). Menentukan akar-akar dari $ -x^2+2x-3 = 0 $
*). Bentuk $ -x^2+2x-3 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0 -x="" 0="" :="" a="-1" artinya="" bisa="" br="" dan="" definit="" dengan="" dibalik="" dicoret="" karena="" ketaksamaan="" konstanta="" maka="" menganggap="" menjadi="" negatif.="" negatif="" nilai="" pertidaksamaan="" sebagai="" tanda="" x-3="">$ (x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 \, $ ekuivalen(setara) $ (x-1) \leq 0 $
*). Penyelesaian : $ x - 1 \leq 0 \rightarrow x \leq 1 $
Jadi, HP = $\{ x \leq 1 \} $
6). Untuk $ p \in R \, $ dan $ -3 < p < 5 , \, $ tentukan semua nilai $ x \, $ yang memnuhi $ (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar
Untuk $ - 3 < p < 5, \, $ bentuk $ x^2-px + 7 \, $ tidak punya akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D=b^2-4ac = (-p)2 - 4.1.7 = p^2 - 28 < 0 \, $ dengan $ -3 < p < 5 $) . Nilai $ a = 1 > 0 \, $ , artinya $ x^2-px + 7 \, $ definit positif dan tidak mempengaruhi pertidaksamaan. Pertidaksamaan menjadi :
$ (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, $ ekuivalen $ (x-1)^2(x+2) > 0 $
*). $ (x-1)^2(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Jadi, HP = $ \{ -2 < x < 1 \, $ atau $ \, x > 1 \} $
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya dua.
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0, $
$ ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0 $
dengan $ a \neq 0 , \, $ dan $ a,b,c \in R $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"
$ \spadesuit $ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0, $
$ ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0 $
dengan $ a \neq 0 , \, $ dan $ a,b,c \in R $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"
$ \spadesuit $ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $
Contoh :
1). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 - x - 6 < 0 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Menentukan akar-akar
$ \begin{align} x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align} $
$\clubsuit $ Garis bilangan
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari
a). $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 \, \, \, $ b). $ -x^2 + 2x - 3 > 0 $
Penyelesaian :
a). $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 $
Bentuk $ 2x^2 - 3x + 4 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol. $ D = b^2 -4ac = (-3)^2 - 4.2.4 = 9 - 32 = - 23 $ . Diperoleh nilai $ a = 2 > 0 , \, $ dan nilai $ D < 0 $ . Karena nilai $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 , \, $ artinya terjadi kasusu definit positif, sehingga semua nilai $ x \, $ pasti memenuhi $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 \, $ (positif).
Jadi, solusinya HP = $ \{ x \in R \} \, $.
(artinya semua nilai $ x \, $ memenuhi pertidaksamaan)
b). $ -x^2 + 2x - 3 > 0 $
Bentuk $ -x^2 + 2x - 3 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya negatif. $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4.(-1).(-3) = 4 - 12 = -8 $
Diperoleh nilai $ a = -1 < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ . Karena nilai $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ artinya terjadi kasus definit negatif, sehingga untuk semua nilai $ x \, $ nilai $ -x^2 + 2x - 3 \, $ adalah negatif. ($ -x^2 + 2x - 3 < 0 $).
Sementara pada soal yang diminta adalah $ -x^2 + 2x - 3 > 0 \, $ (positif), sehingga tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ -x^2 + 2x - 3 > 0 . $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \} $ (Himpunan kosong).
3). Jika himpunan penyelesaian $ 2x^2 + 5x - 3 \geq 0 \, $ adalah $ x \leq a \, $ atau $ x \geq b, \, $
maka nilai $ 2b - a = ...$ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Menentukan akar-akar
$ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \rightarrow (2x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \vee x = -3 $
$\spadesuit $ Garis bilangannya
$\spadesuit $ Karena solusinya $ x \leq a \, $ atau $ x \geq b \, $ sama dengan $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq \frac{1}{2}, \, $ maka nilai $ a = -3 \, $ dan $ b = \frac{1}{2} $
Sehingga nilai $ 2b - a = 2 . \frac{1}{2} - (-3) = 1 + 3 = 4 $
Jadi, nilai $ 2b - a = 4 $
4). Tentukan nilai $ p \, $ agar setiap nilai $ x \, $ memenuhi pertidaksamaan $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0 $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Bentuk $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) \rightarrow a = p+1, \, b = 2, \, c = - \frac{p-4}{4} $
$\clubsuit $ Ini kasus definit positif karena setiap nilai $ x \, $ nilai $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0 \, $ selalu positif.
$\clubsuit $ Syarat definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
*). $ a > 0 \rightarrow p + 1 > 0 \rightarrow p > -1 \, $ ....(HP1)
*). $ D < 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ 2^2 - 4.(p+1).\left( - \frac{p-4}{4} \right) & < 0 \\ 4 + (p+1).(p-4) & < 0 \\ 4 + p^2 - 3p - 4 & < 0 \\ p^2 - 3p & < 0 \\ p(p-3) & < 0 \\ p = 0 \vee p & = 3 \end{align} $
Sehingga solusinya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ p > -1 \} \cap \{ 0 < p < 3 \} = \{ 0 < p < 3 \} $
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 0 < p < 3 \} $
5). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, \, \, \, $ b. $(x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 $
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar dari $ (x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 $
*). Bentuk $ x^2-4x+5 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0 a="1" nilai=""> 0 \, $ , artinya $ x^2-4x+5 \, $ definit positif. Karena $ x^2-4x+5 \, $ definit positif, maka untuk setiap $ x \, $ tidak mempengaruhi pertidaksamaan, sehingga bisa diabaikan/dicoret dengan menganggap sebagai konstanta yang selalu positif. Pertidaksamaan menjadi :
$ (x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, $ ekuivalen(setara) dengan $ x^2+x-2 < 0 $
*). Menentukan akar-akar dari $ x^2+x-2 < 0 $
$ x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $
b). Menentukan akar-akar dari $ -x^2+2x-3 = 0 $
*). Bentuk $ -x^2+2x-3 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0 -x="" 0="" :="" a="-1" artinya="" bisa="" br="" dan="" definit="" dengan="" dibalik="" dicoret="" karena="" ketaksamaan="" konstanta="" maka="" menganggap="" menjadi="" negatif.="" negatif="" nilai="" pertidaksamaan="" sebagai="" tanda="" x-3="">$ (x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 \, $ ekuivalen(setara) $ (x-1) \leq 0 $
*). Penyelesaian : $ x - 1 \leq 0 \rightarrow x \leq 1 $
Jadi, HP = $\{ x \leq 1 \} $
6). Untuk $ p \in R \, $ dan $ -3 < p < 5 , \, $ tentukan semua nilai $ x \, $ yang memnuhi $ (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar
Untuk $ - 3 < p < 5, \, $ bentuk $ x^2-px + 7 \, $ tidak punya akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D=b^2-4ac = (-p)2 - 4.1.7 = p^2 - 28 < 0 \, $ dengan $ -3 < p < 5 $) . Nilai $ a = 1 > 0 \, $ , artinya $ x^2-px + 7 \, $ definit positif dan tidak mempengaruhi pertidaksamaan. Pertidaksamaan menjadi :
$ (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, $ ekuivalen $ (x-1)^2(x+2) > 0 $
*). $ (x-1)^2(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Jadi, HP = $ \{ -2 < x < 1 \, $ atau $ \, x > 1 \} $