Pertidaksamaan adalah kalimat matematika yang memuat tanda ketaksamaan. Tanda ketaksamaan terdiri dari : $ <, \, >, \, \leq , \, \geq, \, \neq . \, $ Pertidaksamaan termasuk materi yang luas cakupannya , diantaranya pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak, pertidaksamaan eksponen, pertidaksamaan logaritma, dan lainnya. Salah satu hal penting yang harus dikuasai untuk mampu menyelesaikan pertidaksamaan adalah tentang sifat-sifat pertidaksamaan.
Berikut beberapa contoh pertidaksamaan :
$2x +1 < 0, \, \frac{3x+4}{x-2} \geq 6 , \, x^2 - 3x + 4 > 0 , $
$ \sqrt{2x+5} \leq x - 1 , \, | x+5| - 3x \geq 7 , \, x^2 - x + 2 \neq 0 $
Contoh
1). $ 2x - 1 \geq 3 \rightarrow 2x - 4 \geq 0 $
akar-akarnya : $ 2x - 4 = 0 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
garis bilangannya :
*). Pilih salah satu angka di sebelah kiri 2, misalkan nol
$ x = 0 \rightarrow 2x - 4 = 2.0 - 4 = -4 $
hasilnya negatif, artinya tanda di sebelah kiri 2 negatif($-$)
*). Pilih salah satu angka di sebelah kanan 2, misalkan 4
$ x = 4 \rightarrow 2x - 4 = 2.4 - 4 = 4 $
hasilnya positif, artinya tanda di sebelah kanan 2 positif($+$)
Garis bilangan dan tandanya :
2). Pertidaksamaan $ 2x^2 + 2x - 1 < 1 - x $
*). Menentukan akar-akar, nolkan ruas kanan.
$ \begin{align} 2x^2 + 2x - 1 & < 1 - x \\ 2x^2 + 2x - 1 + x - 1 & < 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 & < 0 \\ (2x-1)(x+2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = -2 \end{align} $
Garis bilangannya
*). Menentukan tandanya
Terbentuk tiga selang/interval, pilih satu angka pada setiap selang dan substitusi ke $ (2x-1)(x+2) $
Interval pertama : $ -\infty < x < -2 \, $ , pilih $ x = -3 $
$ x = - 3 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(-3)-1)(-3+2) = -7 . (-1) = 7 \, $ (tanda $+$)
Interval kedua : $ -2 < x < \frac{1}{2} \, $ , pilih $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(0)-1)(0+2) = -1 . 2 = -2 \, $ (tanda $-$)
Interval ketiga : $ \frac{1}{2} < x < \infty \, $ , pilih $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(1)-1)(1+2) = 1 . 3 = 3 \, $ (tanda $+$)
Garis bilangan dan tandanya :
Catatan : Biasanya tanda peda semua interval selang-seling
(misalkan +, - , + , - , atau -, + , - , + )
Contoh
1). Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - 1 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akarnya
$ 2x - 1 < 7 \rightarrow 2x - 1 = 7 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4 $
*). garis bilangan dan mengarsir daerahnya (diminta $ < $ , arsir negatif)
Jadi, himpunan penyelesaian HP $ = \{ x < 4 \} $
2). Pertidaksamaan $ ax - 3 > 15 \, $ mempunyai penyelesaian $ x > 6 $.
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ....?
Penyelesaian :
Cara I :
$\clubsuit $ Solusi dari pertidaksamaan diperoleh dari akar-akar pertidaksamaan dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
$ \clubsuit $ Solusinya $ x > 6 \, $ artinya akar-akarnya adalah $ x = 6 $
Substitusi $ x = 6 $ ke persamaan :
$ \begin{align} x = 6 \rightarrow ax - 3 & > 15 \\ a.6 - 3 & = 15 \\ 6a & = 15 + 3 \\ 6a & = 18 \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 3 $
Cara II :
$\clubsuit $ Modifikasi pertidaksamaannya
$ ax - 3 > 15 \rightarrow ax > 18 \rightarrow x > \frac{18}{a} $
$\clubsuit $ Solusinya $ x > 6 $
$ \left. \begin{array}{c} x > \frac{18}{a} \\ x > 6 \end{array} \right\} \, $ bentuknya sama
Sehingga $ \frac{18}{a} = 6 \rightarrow a = \frac{18}{6} = 3 $
Jadi, nilai $ a = 3 $
3). Pertidaksamaan $ 3x - a < \frac{5x-2}{3} - \frac{ax-5}{4} \, $ mempunyai penyelesaian $ x < 1 $ .
Tentukan nilai $ a ? $
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Solusinya $ x < 1 \, $ , artinya akarnya adalah $ x = 1 $
$ \spadesuit $ Substitusi $ x = 1 $ ke pertidaksamaan dan ubah ketaksamaannya menjadi sama dengan.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 3x - a & < \frac{5x-2}{3} - \frac{ax-5}{4} \\ 3.1 - a & = \frac{5.1-2}{3} - \frac{a.1-5}{4} \\ 3 - a & = \frac{3}{3} - \frac{a-5}{4} \\ 3 - a & = 1 - \frac{a-5}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12 - 4a & = 4 - (a-5) \\ 3a & = 3 \\ a & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 $
4). Pertidaksamaan $ ax^2 + bx - 3 \leq 0 \, $ mempunyai penyelesaian $ - \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ .
Tentukan nilai $ a + b ? $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusinya $ - \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ , akar-akarnya adalah $ x = - \frac{1}{2} \, $ dan $ x = 3 $
$ \clubsuit $ Substitusi akar-akarnya ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = - \frac{1}{2} \rightarrow ax^2 + bx - 3 & \leq 0 \\ a(-\frac{1}{2})^2 + b.(-\frac{1}{2}) - 3 & = 0 \\ a(\frac{1}{4}) - b.(\frac{1}{2}) - 3 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ a - 2b - 12 & = 0 \\ a - 2b & = 12 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ x = 3 \rightarrow ax^2 + bx - 3 & \leq 0 \\ a(3)^2 + b.(3) - 3 & = 0 \\ 9a + 3b & = 3 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{c|c|cc} a - 2b = 12 & \text{kali 3} & 3a - 6b = 36 & \\ 9a + 3b = 3 & \text{kali 2} & 18a + 6b = 6 & + \\ \hline & & 21a = 42 & \\ & & a = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ a - 2b = 12 \rightarrow 2 - 2b = 12 \rightarrow b = -5 $
Sehingga nilai $ a + b = 2 + (-5) = -3 $
Jadi, nilai $ a + b = -3 $
Contoh
1). Himpunan $ A = \{1,2,3,4,5,6\} \, $ dan himpunan $ B = \{ 2,3,4,6,7,8\} $
*). Irisannya : $ A \cap B = \{2,3,4\} \, $ (ambil yang sama saja dari kedua himpunan)
*). Gabungannya : $ A \cup B = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \, $ (diambil semua, yang sama ditulis satu kali)
2). Diketahui : $ HP1 = \{ -2 < x < 4 \} , \, HP2 = \{ 0 < x < 5 \} $
*). Irisannya : $ HP1 \cap HP2 = \{ 0 < x < 4 \} $
*). Gabungannya : $ HP1 \cup HP2 = \{ -2 < x < 5 \} $
garis bilangannya :
Pertidaksamaan secara umum mempunyai penyelesaian seperti di atas. Artinya apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya sama saja mengikuti langkah-langkah umum di atas. Namun untuk lebih maksimal, silahkan baca artikel pertidaksamaan secara lebih khusus, yaitu pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
Penjelasan Tanda Ketaksamaan
Pada pertidaksamaan memuat tanda ketaksamaan : $ <, \, >, \, \leq , \, \geq, \, \neq . \, $ Berikut penjelasannya masing-masing,
$\spadesuit $ Tanda $ < \, $ dibaca kurang dari atau lebih kecil
$ x < 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus kurang dari 2 dan dua tidak boleh ikut.
Himpunannya : $ x = \{ ...,-1,0,1 \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ \leq \, $ dibaca kurang dari sama dengan atau lebih kecil sama dengan
$ x \leq 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih kecil dan sama dengan dari 2 (dua boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ ...,-1,0,1,2 \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ > \, $ dibaca lebih dari atau lebih besar
$ x > -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dari -3 (-3 tidak boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -2,-1,0,1,... \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ \geq \, $ dibaca lebih dari sama dengan atau lebih besar sama dengan
$ x \geq -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dan sama dengan dari -3 (-3 boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -3,-2,-1,0,1,... \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ < \, $ dibaca kurang dari atau lebih kecil
$ x < 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus kurang dari 2 dan dua tidak boleh ikut.
Himpunannya : $ x = \{ ...,-1,0,1 \} \, $ ,
garis bilangannya :
$ x \leq 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih kecil dan sama dengan dari 2 (dua boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ ...,-1,0,1,2 \} \, $ ,
garis bilangannya :
$ x > -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dari -3 (-3 tidak boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -2,-1,0,1,... \} \, $ ,
garis bilangannya :
$ x \geq -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dan sama dengan dari -3 (-3 boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -3,-2,-1,0,1,... \} \, $ ,
garis bilangannya :
$2x +1 < 0, \, \frac{3x+4}{x-2} \geq 6 , \, x^2 - 3x + 4 > 0 , $
$ \sqrt{2x+5} \leq x - 1 , \, | x+5| - 3x \geq 7 , \, x^2 - x + 2 \neq 0 $
Penyelesaian Pertidaksamaan
Penyelesaian yang dimaksud adalah semua nilai variabel yang ada (misal $x $) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Misal, penyelesaian pertidaksamaan $ -2x + 4 < 0 \, $ adalah $ x > 2, \, $ artinya untuk semua nilai $ x $ yang memenuhi $ x > 2 \, $ pasti juga akan memenuhi $ -2x+4 < 0 . \, $ Contoh, $ x = 3 \, $ , maka $ -2.(3) + 4 = -2 < 0 $
Cara menentukan tanda $+$ atau $ - $ pada garis bilangan
Untuk menentukan tanda $ + $ atau $ - $ pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertidaksamaan, kemudian pilih angka dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.
1). $ 2x - 1 \geq 3 \rightarrow 2x - 4 \geq 0 $
akar-akarnya : $ 2x - 4 = 0 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
garis bilangannya :
$ x = 0 \rightarrow 2x - 4 = 2.0 - 4 = -4 $
hasilnya negatif, artinya tanda di sebelah kiri 2 negatif($-$)
*). Pilih salah satu angka di sebelah kanan 2, misalkan 4
$ x = 4 \rightarrow 2x - 4 = 2.4 - 4 = 4 $
hasilnya positif, artinya tanda di sebelah kanan 2 positif($+$)
Garis bilangan dan tandanya :
*). Menentukan akar-akar, nolkan ruas kanan.
$ \begin{align} 2x^2 + 2x - 1 & < 1 - x \\ 2x^2 + 2x - 1 + x - 1 & < 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 & < 0 \\ (2x-1)(x+2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = -2 \end{align} $
Garis bilangannya
Terbentuk tiga selang/interval, pilih satu angka pada setiap selang dan substitusi ke $ (2x-1)(x+2) $
Interval pertama : $ -\infty < x < -2 \, $ , pilih $ x = -3 $
$ x = - 3 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(-3)-1)(-3+2) = -7 . (-1) = 7 \, $ (tanda $+$)
Interval kedua : $ -2 < x < \frac{1}{2} \, $ , pilih $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(0)-1)(0+2) = -1 . 2 = -2 \, $ (tanda $-$)
Interval ketiga : $ \frac{1}{2} < x < \infty \, $ , pilih $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(1)-1)(1+2) = 1 . 3 = 3 \, $ (tanda $+$)
Garis bilangan dan tandanya :
(misalkan +, - , + , - , atau -, + , - , + )
Langkah-langkah umum menyelesaikan pertidaksamaan
Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :
$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)
$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.
$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2
$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)
$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.
$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2
Contoh
1). Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - 1 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akarnya
$ 2x - 1 < 7 \rightarrow 2x - 1 = 7 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4 $
*). garis bilangan dan mengarsir daerahnya (diminta $ < $ , arsir negatif)
2). Pertidaksamaan $ ax - 3 > 15 \, $ mempunyai penyelesaian $ x > 6 $.
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ....?
Penyelesaian :
Cara I :
$\clubsuit $ Solusi dari pertidaksamaan diperoleh dari akar-akar pertidaksamaan dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
$ \clubsuit $ Solusinya $ x > 6 \, $ artinya akar-akarnya adalah $ x = 6 $
Substitusi $ x = 6 $ ke persamaan :
$ \begin{align} x = 6 \rightarrow ax - 3 & > 15 \\ a.6 - 3 & = 15 \\ 6a & = 15 + 3 \\ 6a & = 18 \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 3 $
Cara II :
$\clubsuit $ Modifikasi pertidaksamaannya
$ ax - 3 > 15 \rightarrow ax > 18 \rightarrow x > \frac{18}{a} $
$\clubsuit $ Solusinya $ x > 6 $
$ \left. \begin{array}{c} x > \frac{18}{a} \\ x > 6 \end{array} \right\} \, $ bentuknya sama
Sehingga $ \frac{18}{a} = 6 \rightarrow a = \frac{18}{6} = 3 $
Jadi, nilai $ a = 3 $
3). Pertidaksamaan $ 3x - a < \frac{5x-2}{3} - \frac{ax-5}{4} \, $ mempunyai penyelesaian $ x < 1 $ .
Tentukan nilai $ a ? $
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Solusinya $ x < 1 \, $ , artinya akarnya adalah $ x = 1 $
$ \spadesuit $ Substitusi $ x = 1 $ ke pertidaksamaan dan ubah ketaksamaannya menjadi sama dengan.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 3x - a & < \frac{5x-2}{3} - \frac{ax-5}{4} \\ 3.1 - a & = \frac{5.1-2}{3} - \frac{a.1-5}{4} \\ 3 - a & = \frac{3}{3} - \frac{a-5}{4} \\ 3 - a & = 1 - \frac{a-5}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12 - 4a & = 4 - (a-5) \\ 3a & = 3 \\ a & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 $
4). Pertidaksamaan $ ax^2 + bx - 3 \leq 0 \, $ mempunyai penyelesaian $ - \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ .
Tentukan nilai $ a + b ? $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusinya $ - \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ , akar-akarnya adalah $ x = - \frac{1}{2} \, $ dan $ x = 3 $
$ \clubsuit $ Substitusi akar-akarnya ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = - \frac{1}{2} \rightarrow ax^2 + bx - 3 & \leq 0 \\ a(-\frac{1}{2})^2 + b.(-\frac{1}{2}) - 3 & = 0 \\ a(\frac{1}{4}) - b.(\frac{1}{2}) - 3 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ a - 2b - 12 & = 0 \\ a - 2b & = 12 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ x = 3 \rightarrow ax^2 + bx - 3 & \leq 0 \\ a(3)^2 + b.(3) - 3 & = 0 \\ 9a + 3b & = 3 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{c|c|cc} a - 2b = 12 & \text{kali 3} & 3a - 6b = 36 & \\ 9a + 3b = 3 & \text{kali 2} & 18a + 6b = 6 & + \\ \hline & & 21a = 42 & \\ & & a = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ a - 2b = 12 \rightarrow 2 - 2b = 12 \rightarrow b = -5 $
Sehingga nilai $ a + b = 2 + (-5) = -3 $
Jadi, nilai $ a + b = -3 $
Irisan dan Gabungan dua himpunan
Irisan lambangnya $ \cap \, $ dan gabungan lambangnya $ \cup $
$\clubsuit $ Hasil irisan dua himpunan adalah himpunan nilai yang sama yang terdapat pada kedua himpunan.
$ \clubsuit $ Hasil gabungan dua himpunan adalah himpunan semua nilai yang terdapat pada kedua himpunan.
$\clubsuit $ Hasil irisan dua himpunan adalah himpunan nilai yang sama yang terdapat pada kedua himpunan.
$ \clubsuit $ Hasil gabungan dua himpunan adalah himpunan semua nilai yang terdapat pada kedua himpunan.
Contoh
1). Himpunan $ A = \{1,2,3,4,5,6\} \, $ dan himpunan $ B = \{ 2,3,4,6,7,8\} $
*). Irisannya : $ A \cap B = \{2,3,4\} \, $ (ambil yang sama saja dari kedua himpunan)
*). Gabungannya : $ A \cup B = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \, $ (diambil semua, yang sama ditulis satu kali)
2). Diketahui : $ HP1 = \{ -2 < x < 4 \} , \, HP2 = \{ 0 < x < 5 \} $
*). Irisannya : $ HP1 \cap HP2 = \{ 0 < x < 4 \} $
*). Gabungannya : $ HP1 \cup HP2 = \{ -2 < x < 5 \} $
garis bilangannya :
Pertidaksamaan secara umum mempunyai penyelesaian seperti di atas. Artinya apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya sama saja mengikuti langkah-langkah umum di atas. Namun untuk lebih maksimal, silahkan baca artikel pertidaksamaan secara lebih khusus, yaitu pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.