Pertidaksamaan linear merupakan salah satu jenis pertidaksamaan khusus. Agar mudah dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear, sebaiknya kita kuasai dulu materi "sifat-sifat pertidaksamaan" dan "pertidaksamaan secara umum". Di sini teori pertidaksamaan linear yang ditampilkan cukup sederhana, karena penekanannya pada contoh-contoh soal.
Pertidaksamaan Linear sudah dipelajari ketika di SMP, dan dilanjutkan lagi di tingkat SMA. Untuk tingkat SMA, materi pertidaksaman linear lebih kompleks terutama dari tipe soal-soalnya dibandingkan dengan tingkat SMP sebelumnya. Pertidaksamaan linear juga mengikuti penyelesaian bentuk umum pertidaksamaan.
Contoh :
1). Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut!
a). 2x−1<0 b). −x+3≤0 c). 3x+2≤4x+3
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan :
a). 2x−1<0
2x−1<02x<1(bagi 2, tanda ketaksamaan tetap)x<12
Jadi, HP = {x<12}
b). −x+3≤0
−x+3≤0−x≤−3(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)x≥3
Jadi, HP = {x≥3}
c). 3x+2≤4x+3
3x+2≤4x+33x−4x≤3−2−x≤1(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)x≥−1
Jadi, HP = {x≥−1}
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari x−1<2x+3<2−x !
Penyelesaian :
♠ Pertidaksamaan dibagi menjadi dua kasus :
i). x−1<2x+3
x−1<2x+3x−2x<3+1−x<4(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)x>−4
HP1 = {x>−4}
ii). 2x+3<2−x
2x+3<2−x2x+x<2−33x<−1(bagi 3, tanda ketaksamaan tetap)x<−13
HP2 = {x<−13}
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan linear
Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.
♣ Bentuk umum pertidaksamaan linear
ax+b<0,ax+>0,ax+b≤0,ax+b≥0
♣ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )
♣ Bentuk umum pertidaksamaan linear
ax+b<0,ax+>0,ax+b≤0,ax+b≥0
♣ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )
Contoh :
1). Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut!
a). 2x−1<0 b). −x+3≤0 c). 3x+2≤4x+3
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan :
a). 2x−1<0
2x−1<02x<1(bagi 2, tanda ketaksamaan tetap)x<12
Jadi, HP = {x<12}
b). −x+3≤0
−x+3≤0−x≤−3(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)x≥3
Jadi, HP = {x≥3}
c). 3x+2≤4x+3
3x+2≤4x+33x−4x≤3−2−x≤1(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)x≥−1
Jadi, HP = {x≥−1}
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari x−1<2x+3<2−x !
Penyelesaian :
♠ Pertidaksamaan dibagi menjadi dua kasus :
i). x−1<2x+3
x−1<2x+3x−2x<3+1−x<4(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)x>−4
HP1 = {x>−4}
ii). 2x+3<2−x
2x+3<2−x2x+x<2−33x<−1(bagi 3, tanda ketaksamaan tetap)x<−13
HP2 = {x<−13}
♠ Himpunan penyelesaian adalah nilai x yang memenuhi HP1 dan HP2 (irisan kedua himpunan karena harus memenuhi kedua pertidaksamaan)
HP=HP1∩HP2={x>−4}∩{x<−13}={−4<x<−13}
untuk irisan dua himpunan, baca materi "pertidaksamaan secara umum".
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {−4<x<−13}
3). Jika diketahui x−2≤0 dan x−1>0, maka x2−4x adalah ...?
Penyelesaian :
♣ Selesaikan masing-masing pertidaksamaan
*). x−2≤0→x≤2 ....(HP1)
*). x−1>0→x>1 ....(HP2)
♣ Nilai x yang memenuhi adalah irisan kedua HP
HP=HP1∩HP2={x≤2}∩{x>1}={1<x≤2}
♣ Kuadratkan kedua ruas dari solusinya
1<x≤212<x2≤221<x2≤4(kurangkan 4)1−4<x2−4≤4−4−3<x2−4≤0
♣ Diperoleh interval nilai berikut ,
{1<x≤2} nilai terbesar x adalah 2 dan terkecilnya 1
{−3<x2−4≤0} nilai terbesar x2−4 adalah 0 dan terkecilnya -3
Dari interval di atas, diperoleh nilai x2−4x :
Nilai terbesarnya dari x2−4x=01=0
Nilai terkecilnya dari x2−4x=−31=−3
Jadi, interval nilai x2−4x adalah −3<x2−4x≤0
4). Nilai terkecil x yang memenuhi pertidaksamaan 2x−3x4≤3x2+14 adalah .... ?
Penyelesaian :
♠ Menyelesaikan pertidaksamaannya
2x−3x4≤3x2+14(kalikan 4)8x−3x≤6x+15x≤6x+15x−6x≤1−x≤1(kalikan -1, tanda ketaksamaan dibalik)x≥−1
♠ Solusinya x≥−1 artinya nilai terkecil x adalah −1 .
Jadi, nilai terkecil x adalah −1 .
5). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan −3<x−2<0 dan 2<x+2<7 adalah ....?
Penyelesaian :
♣ Menyelesaikan pertidaksamaan masing-masing
*). pertidaksamaan pertama :
−3<x−2<0(tambahkan 2)−3+2<x−2+2<0+2−1<x<2....(HP1)
*). pertidaksamaan kedua :
2<x+2<7(kurangkan 2)2−2<x+2−2<7−20<x<5....(HP2)
*). Nilai x yang memenuhi adalah irisannya :
HP=HP1∩HP2={−1<x<2}∩{0<x<5}={0<x<2}
Jadi, solusinya {0<x<2}
6). Pertidaksamaan 2a−x+12<ax+1 dipenuhi oleh x>1 . Tentukan nilai a ?
Penyelesaian :
♠ Solusinya x>1, artinya akar dari pertidaksamaan pertidaksamaan adalah x=1 .
♠ Substitusi x=1 ke pertidaksamaan :
x=1→2a−x+12<ax+12a−1+12=a.1+12a−22=a+12a−1=a+12a−a=1+1a=2
Jadi, nilai a=2
Demikian pembahasan tentang pertidaksamaan linear beserta variasi contohnya. Silahkan juga baca materi pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, dan pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
HP=HP1∩HP2={x>−4}∩{x<−13}={−4<x<−13}
untuk irisan dua himpunan, baca materi "pertidaksamaan secara umum".
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah {−4<x<−13}
3). Jika diketahui x−2≤0 dan x−1>0, maka x2−4x adalah ...?
Penyelesaian :
♣ Selesaikan masing-masing pertidaksamaan
*). x−2≤0→x≤2 ....(HP1)
*). x−1>0→x>1 ....(HP2)
♣ Nilai x yang memenuhi adalah irisan kedua HP
HP=HP1∩HP2={x≤2}∩{x>1}={1<x≤2}
♣ Kuadratkan kedua ruas dari solusinya
1<x≤212<x2≤221<x2≤4(kurangkan 4)1−4<x2−4≤4−4−3<x2−4≤0
♣ Diperoleh interval nilai berikut ,
{1<x≤2} nilai terbesar x adalah 2 dan terkecilnya 1
{−3<x2−4≤0} nilai terbesar x2−4 adalah 0 dan terkecilnya -3
Dari interval di atas, diperoleh nilai x2−4x :
Nilai terbesarnya dari x2−4x=01=0
Nilai terkecilnya dari x2−4x=−31=−3
Jadi, interval nilai x2−4x adalah −3<x2−4x≤0
4). Nilai terkecil x yang memenuhi pertidaksamaan 2x−3x4≤3x2+14 adalah .... ?
Penyelesaian :
♠ Menyelesaikan pertidaksamaannya
2x−3x4≤3x2+14(kalikan 4)8x−3x≤6x+15x≤6x+15x−6x≤1−x≤1(kalikan -1, tanda ketaksamaan dibalik)x≥−1
♠ Solusinya x≥−1 artinya nilai terkecil x adalah −1 .
Jadi, nilai terkecil x adalah −1 .
5). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan −3<x−2<0 dan 2<x+2<7 adalah ....?
Penyelesaian :
♣ Menyelesaikan pertidaksamaan masing-masing
*). pertidaksamaan pertama :
−3<x−2<0(tambahkan 2)−3+2<x−2+2<0+2−1<x<2....(HP1)
*). pertidaksamaan kedua :
2<x+2<7(kurangkan 2)2−2<x+2−2<7−20<x<5....(HP2)
*). Nilai x yang memenuhi adalah irisannya :
HP=HP1∩HP2={−1<x<2}∩{0<x<5}={0<x<2}
Jadi, solusinya {0<x<2}
6). Pertidaksamaan 2a−x+12<ax+1 dipenuhi oleh x>1 . Tentukan nilai a ?
Penyelesaian :
♠ Solusinya x>1, artinya akar dari pertidaksamaan pertidaksamaan adalah x=1 .
♠ Substitusi x=1 ke pertidaksamaan :
x=1→2a−x+12<ax+12a−1+12=a.1+12a−22=a+12a−1=a+12a−a=1+1a=2
Jadi, nilai a=2
Demikian pembahasan tentang pertidaksamaan linear beserta variasi contohnya. Silahkan juga baca materi pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, dan pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
