Pertidaksamaan linear merupakan salah satu jenis pertidaksamaan khusus. Agar mudah dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear, sebaiknya kita kuasai dulu materi "sifat-sifat pertidaksamaan" dan "pertidaksamaan secara umum". Di sini teori pertidaksamaan linear yang ditampilkan cukup sederhana, karena penekanannya pada contoh-contoh soal.
Pertidaksamaan Linear sudah dipelajari ketika di SMP, dan dilanjutkan lagi di tingkat SMA. Untuk tingkat SMA, materi pertidaksaman linear lebih kompleks terutama dari tipe soal-soalnya dibandingkan dengan tingkat SMP sebelumnya. Pertidaksamaan linear juga mengikuti penyelesaian bentuk umum pertidaksamaan.
Contoh :
1). Tentukan semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan berikut!
a). $ 2x - 1 < 0 \, $ b). $ -x + 3 \leq 0 \, $ c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan :
a). $ 2x - 1 < 0 \, $
$ \begin{align} 2x - 1 & < 0 \\ 2x & < 1 \, \, \, \, \text{(bagi 2, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x < \frac{1}{2} \} $
b). $ -x + 3 \leq 0 $
$ \begin{align} -x + 3 & \leq 0 \\ -x & \leq -3 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq 3 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq 3 \} $
c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
$ \begin{align} 3x + 2 & \leq 4x + 3 \\ 3x - 4x & \leq 3 - 2 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq -1 \} $
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari $ x - 1 < 2x + 3 < 2 - x $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Pertidaksamaan dibagi menjadi dua kasus :
i). $ x - 1 < 2x + 3 $
$ \begin{align} x - 1 & < 2x + 3 \\ x - 2x & < 3 + 1 \\ -x & < 4 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & > -4 \end{align} $
HP1 = $\{ x > -4 \} $
ii). $ 2x + 3 < 2 - x $
$ \begin{align} 2x + 3 & < 2 - x \\ 2x + x & < 2 - 3 \\ 3x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < -\frac{1}{3} \end{align} $
HP2 = $\{ x < -\frac{1}{3} \} $
$ \spadesuit $ Himpunan penyelesaian adalah nilai $ x $ yang memenuhi HP1 dan HP2 (irisan kedua himpunan karena harus memenuhi kedua pertidaksamaan)
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x > -4 \} \cap \{ x < -\frac{1}{3} \} = \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
untuk irisan dua himpunan, baca materi "pertidaksamaan secara umum".
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah $ \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
3). Jika diketahui $ x - 2 \leq 0 \, $ dan $ x - 1 > 0 , \, $ maka $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Selesaikan masing-masing pertidaksamaan
*). $ x - 2 \leq 0 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP1)
*). $ x - 1 > 0 \rightarrow x > 1 \, $ ....(HP2)
$\clubsuit $ Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisan kedua HP
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x \leq 2 \} \cap \{ x > 1 \} = \{ 1 < x \leq 2 \} $
$\clubsuit $ Kuadratkan kedua ruas dari solusinya
$ \begin{align} 1 < & x \leq 2 \\ 1^2 < & x^2 \leq 2^2 \\ 1 < & x^2 \leq 4 \, \, \, \, \text{(kurangkan 4)} \\ 1-4 < & x^2 - 4 \leq 4 - 4 \\ -3 < & x^2 - 4 \leq 0 \end{align} $
$\clubsuit $ Diperoleh interval nilai berikut ,
$ \{ 1 < x \leq 2 \} \, $ nilai terbesar $ x \, $ adalah 2 dan terkecilnya 1
$ \{ -3 < x^2 - 4 \leq 0 \} \, $ nilai terbesar $ x^2 - 4 \, $ adalah 0 dan terkecilnya -3
Dari interval di atas, diperoleh nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ :
Nilai terbesarnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{0}{1} = 0 $
Nilai terkecilnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{-3}{1} = -3 $
Jadi, interval nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah $ -3 < \frac{x^2-4}{x} \leq 0 $
4). Nilai terkecil $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - \frac{3x}{4} \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, $ adalah .... ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$ \begin{align} 2x - \frac{3x}{4} & \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(kalikan 4)} \\ 8x - 3x & \leq 6x + 1 \\ 5x & \leq 6x + 1 \\ 5x - 6x & \leq 1 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kalikan -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusinya $ x \geq -1 \, $ artinya nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .
Jadi, nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .
5). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ -3 < x - 2 < 0 \, $ dan $ 2 < x + 2 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan masing-masing
*). pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} -3 < x & - 2 < 0 \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -3 + 2 < x & - 2 + 2 < 0 + 2 \\ -1 < & x < 2 \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
*). pertidaksamaan kedua :
$ \begin{align} 2 < x & + 2 < 7 \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ 2 - 2 < x & + 2 - 2 < 7 - 2 \\ 0 < & x < 5 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align} $
*). Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisannya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ -1 < x < 2 \} \cap \{ 0 < x < 5 \} = \{ 0 < x < 2 \} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x < 2 \} $
6). Pertidaksamaan $ 2a - \frac{x+1}{2} < ax + 1 \, $ dipenuhi oleh $ x > 1 \, $ . Tentukan nilai $ a $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Solusinya $ x > 1 , \, $ artinya akar dari pertidaksamaan pertidaksamaan adalah $ x = 1 $ .
$\spadesuit $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 2a - \frac{x+1}{2} & < ax + 1 \\ 2a - \frac{1+1}{2} & = a.1 + 1 \\ 2a - \frac{2}{2} & = a + 1 \\ 2a - 1 & = a + 1 \\ 2a - a & = 1 + 1 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 $
Demikian pembahasan tentang pertidaksamaan linear beserta variasi contohnya. Silahkan juga baca materi pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, dan pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan linear
Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.
$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $
$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )
$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $
$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )
Contoh :
1). Tentukan semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan berikut!
a). $ 2x - 1 < 0 \, $ b). $ -x + 3 \leq 0 \, $ c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan :
a). $ 2x - 1 < 0 \, $
$ \begin{align} 2x - 1 & < 0 \\ 2x & < 1 \, \, \, \, \text{(bagi 2, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x < \frac{1}{2} \} $
b). $ -x + 3 \leq 0 $
$ \begin{align} -x + 3 & \leq 0 \\ -x & \leq -3 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq 3 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq 3 \} $
c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
$ \begin{align} 3x + 2 & \leq 4x + 3 \\ 3x - 4x & \leq 3 - 2 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq -1 \} $
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari $ x - 1 < 2x + 3 < 2 - x $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Pertidaksamaan dibagi menjadi dua kasus :
i). $ x - 1 < 2x + 3 $
$ \begin{align} x - 1 & < 2x + 3 \\ x - 2x & < 3 + 1 \\ -x & < 4 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & > -4 \end{align} $
HP1 = $\{ x > -4 \} $
ii). $ 2x + 3 < 2 - x $
$ \begin{align} 2x + 3 & < 2 - x \\ 2x + x & < 2 - 3 \\ 3x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < -\frac{1}{3} \end{align} $
HP2 = $\{ x < -\frac{1}{3} \} $
$ \spadesuit $ Himpunan penyelesaian adalah nilai $ x $ yang memenuhi HP1 dan HP2 (irisan kedua himpunan karena harus memenuhi kedua pertidaksamaan)
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x > -4 \} \cap \{ x < -\frac{1}{3} \} = \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
untuk irisan dua himpunan, baca materi "pertidaksamaan secara umum".
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah $ \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
3). Jika diketahui $ x - 2 \leq 0 \, $ dan $ x - 1 > 0 , \, $ maka $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Selesaikan masing-masing pertidaksamaan
*). $ x - 2 \leq 0 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP1)
*). $ x - 1 > 0 \rightarrow x > 1 \, $ ....(HP2)
$\clubsuit $ Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisan kedua HP
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x \leq 2 \} \cap \{ x > 1 \} = \{ 1 < x \leq 2 \} $
$\clubsuit $ Kuadratkan kedua ruas dari solusinya
$ \begin{align} 1 < & x \leq 2 \\ 1^2 < & x^2 \leq 2^2 \\ 1 < & x^2 \leq 4 \, \, \, \, \text{(kurangkan 4)} \\ 1-4 < & x^2 - 4 \leq 4 - 4 \\ -3 < & x^2 - 4 \leq 0 \end{align} $
$\clubsuit $ Diperoleh interval nilai berikut ,
$ \{ 1 < x \leq 2 \} \, $ nilai terbesar $ x \, $ adalah 2 dan terkecilnya 1
$ \{ -3 < x^2 - 4 \leq 0 \} \, $ nilai terbesar $ x^2 - 4 \, $ adalah 0 dan terkecilnya -3
Dari interval di atas, diperoleh nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ :
Nilai terbesarnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{0}{1} = 0 $
Nilai terkecilnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{-3}{1} = -3 $
Jadi, interval nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah $ -3 < \frac{x^2-4}{x} \leq 0 $
4). Nilai terkecil $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - \frac{3x}{4} \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, $ adalah .... ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$ \begin{align} 2x - \frac{3x}{4} & \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(kalikan 4)} \\ 8x - 3x & \leq 6x + 1 \\ 5x & \leq 6x + 1 \\ 5x - 6x & \leq 1 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kalikan -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusinya $ x \geq -1 \, $ artinya nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .
Jadi, nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .
5). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ -3 < x - 2 < 0 \, $ dan $ 2 < x + 2 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan masing-masing
*). pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} -3 < x & - 2 < 0 \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -3 + 2 < x & - 2 + 2 < 0 + 2 \\ -1 < & x < 2 \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
*). pertidaksamaan kedua :
$ \begin{align} 2 < x & + 2 < 7 \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ 2 - 2 < x & + 2 - 2 < 7 - 2 \\ 0 < & x < 5 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align} $
*). Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisannya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ -1 < x < 2 \} \cap \{ 0 < x < 5 \} = \{ 0 < x < 2 \} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x < 2 \} $
6). Pertidaksamaan $ 2a - \frac{x+1}{2} < ax + 1 \, $ dipenuhi oleh $ x > 1 \, $ . Tentukan nilai $ a $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Solusinya $ x > 1 , \, $ artinya akar dari pertidaksamaan pertidaksamaan adalah $ x = 1 $ .
$\spadesuit $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 2a - \frac{x+1}{2} & < ax + 1 \\ 2a - \frac{1+1}{2} & = a.1 + 1 \\ 2a - \frac{2}{2} & = a + 1 \\ 2a - 1 & = a + 1 \\ 2a - a & = 1 + 1 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 $
Demikian pembahasan tentang pertidaksamaan linear beserta variasi contohnya. Silahkan juga baca materi pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, dan pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.