Sifat-sifat Pertidaksamaan merupakan bagian penting dalam menyelesaikan pertidaksamaan itu sendiri. Sebelumnya telah dibahas tentang langkah-langkah umum dalam menyelesaiakan pertidaksamaan dalam artikel "Pertidaksamaan secara Umum". Namun sebelum melangkah ke penyelesaian tersebut, kita harus tau dulu tentang sifat-sifat pertidaksamaan. Berikut penjelasan tentang sifat-sifat pertidaksamaan yang dimaksud.
Contoh
1). Diketahui a<b dan b<c, cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). a<c
ii). a+2<b+2
iii). 2a<b+c
iv). a+b<2c
v). ab<bc
vi). a−d<c−d
Penyelesaian :
Sifat-sifat Pertidaksamaan
Untuk a,b,c,d,∈R, berlaku sifat-sifat pertidaksamaan berikut :
1). Jika a<b, maka b>a
2). Jika a<b dan b<c, maka a<c (sifat transitif)
3). Jika a<b dan c∈R, maka a+c<b+c.
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika a<b dan c>0, maka ac<bc.
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika a<b dan c<0, maka ac>bc.
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika a<b dan c<d, maka a+c<b+d
7). Jika ab<0 dan b≠0, maka ab<0
8). Jika ab>0 dan b≠0, maka ab>0
9). Untuk semua a∈R, berlaku a2≥0
Catatan :
*). Sifat 3 : jika setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan jika dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel "Pertidaksamaan secara Umum"
1). Jika a<b, maka b>a
2). Jika a<b dan b<c, maka a<c (sifat transitif)
3). Jika a<b dan c∈R, maka a+c<b+c.
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika a<b dan c>0, maka ac<bc.
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika a<b dan c<0, maka ac>bc.
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika a<b dan c<d, maka a+c<b+d
7). Jika ab<0 dan b≠0, maka ab<0
8). Jika ab>0 dan b≠0, maka ab>0
9). Untuk semua a∈R, berlaku a2≥0
Catatan :
*). Sifat 3 : jika setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan jika dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel "Pertidaksamaan secara Umum"
Contoh
1). Diketahui a<b dan b<c, cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). a<c
ii). a+2<b+2
iii). 2a<b+c
iv). a+b<2c
v). ab<bc
vi). a−d<c−d
Penyelesaian :
i). a<c benar berdasarkan sifat 2.
ii). a+2<b+2 benar berdasarkan sifat 3.
iii). dari a<b dan a<c , berdasarkan sifat 6 berlaku :
a+a<b+c→2a<b+c
artinya benar untuk 2a<b+c
iv). dari a<c dan b<c berdasarkan sifat 6 berlaku :
a+b<c+c→a+b<2c (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, jika b>0 maka a<c→ab<bc . Akan tetapi nilai b di bagian ini bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga ab<bc belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, a<c→a+(−d)<c+(−d)→a−d<c−d
2). Apakah a+b>√ab benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan hasilnya positif atau nol.
(√a−√b)2≥0a+b−2√ab≥0a+b≥2√ab
Karena a+b≥2√ab, pasti berlaku juga a+b≥√ab
Jadi, pernyataan a+b≥√ab benar.
3). Jika a>b dan c>d, apakah ac+bd>ad+bc benar ?
Penyelesaian :
♠ Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
*). a>b→a−b>0 (psositif)
*). c>d→c−d>0 (positif)
♠ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif hasilnya positif
(a−b)(c−d)>0ac−ad−bc+bd>0ac+bd>ad+bc
Jadi, benar untuk ac+bd>ad+bc
4). Jika x<−2 dan y>3, maka nilai y−x adalah ... ?
Penyelesaian :
♣ Kalikan −1 pada x<−2 dengan tanda ketaksamaan dibalik
x<−2→x.(−1)>−2.(−1)→−x>2
♣ Berdasarkan sifat 6 :
y>3 dan −x>2, berlaku y+(−x)>3+2→y−x>5
Jadi, nilai y−x adalah lebih besar dari 5.
5). Jika −4<y<5, maka nilai y−4 adalah ....
Penyelesaian :
♠ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
−4<y<5−4+(−4)<y+(−4)<5+(−4)−8<y−4<1
Jadi nilai y−4 adalah −8<y−4<1
(terletak antara -8 sampai 1 )
6). Jika −3<x<4, maka nilai (x−2)2 adalah ... ?
Penyelesaian :
♣ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
−3<x<4−3+(−2)<x+(−2)<4+(−2)−5<x−2<2
Artinya nilai x−2 terletak antara -5 sampai 2, sehingga :
nilai terkecil dari (x−2)2=02=0 dan
nilai terbesarnya (x−2)2=(−5)2=25
Jadi, nilai (x−2)2 adalah 0≤(x−2)2<25
ii). a+2<b+2 benar berdasarkan sifat 3.
iii). dari a<b dan a<c , berdasarkan sifat 6 berlaku :
a+a<b+c→2a<b+c
artinya benar untuk 2a<b+c
iv). dari a<c dan b<c berdasarkan sifat 6 berlaku :
a+b<c+c→a+b<2c (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, jika b>0 maka a<c→ab<bc . Akan tetapi nilai b di bagian ini bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga ab<bc belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, a<c→a+(−d)<c+(−d)→a−d<c−d
2). Apakah a+b>√ab benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan hasilnya positif atau nol.
(√a−√b)2≥0a+b−2√ab≥0a+b≥2√ab
Karena a+b≥2√ab, pasti berlaku juga a+b≥√ab
Jadi, pernyataan a+b≥√ab benar.
3). Jika a>b dan c>d, apakah ac+bd>ad+bc benar ?
Penyelesaian :
♠ Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
*). a>b→a−b>0 (psositif)
*). c>d→c−d>0 (positif)
♠ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif hasilnya positif
(a−b)(c−d)>0ac−ad−bc+bd>0ac+bd>ad+bc
Jadi, benar untuk ac+bd>ad+bc
4). Jika x<−2 dan y>3, maka nilai y−x adalah ... ?
Penyelesaian :
♣ Kalikan −1 pada x<−2 dengan tanda ketaksamaan dibalik
x<−2→x.(−1)>−2.(−1)→−x>2
♣ Berdasarkan sifat 6 :
y>3 dan −x>2, berlaku y+(−x)>3+2→y−x>5
Jadi, nilai y−x adalah lebih besar dari 5.
5). Jika −4<y<5, maka nilai y−4 adalah ....
Penyelesaian :
♠ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
−4<y<5−4+(−4)<y+(−4)<5+(−4)−8<y−4<1
Jadi nilai y−4 adalah −8<y−4<1
(terletak antara -8 sampai 1 )
6). Jika −3<x<4, maka nilai (x−2)2 adalah ... ?
Penyelesaian :
♣ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
−3<x<4−3+(−2)<x+(−2)<4+(−2)−5<x−2<2
Artinya nilai x−2 terletak antara -5 sampai 2, sehingga :
nilai terkecil dari (x−2)2=02=0 dan
nilai terbesarnya (x−2)2=(−5)2=25
Jadi, nilai (x−2)2 adalah 0≤(x−2)2<25
