Sifat-sifat Pertidaksamaan merupakan bagian penting dalam menyelesaikan pertidaksamaan itu sendiri. Sebelumnya telah dibahas tentang langkah-langkah umum dalam menyelesaiakan pertidaksamaan dalam artikel "Pertidaksamaan secara Umum". Namun sebelum melangkah ke penyelesaian tersebut, kita harus tau dulu tentang sifat-sifat pertidaksamaan. Berikut penjelasan tentang sifat-sifat pertidaksamaan yang dimaksud.
Contoh
1). Diketahui $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). $ a < c $
ii). $ a + 2 < b + 2 $
iii). $ 2a < b + c $
iv). $ a + b < 2c $
v). $ ab < bc $
vi). $ a - d < c - d $
Penyelesaian :
i). $ a < c \, $ benar berdasarkan sifat 2.
ii). $ a + 2 < b + 2 \, $ benar berdasarkan sifat 3.
iii). dari $ a < b \, $ dan $ a < c $ , berdasarkan sifat 6 berlaku :
$ a + a < b + c \rightarrow 2a < b + c \, $
artinya benar untuk $ 2a < b + c $
iv). dari $ a < c \, $ dan $ b < c \, $ berdasarkan sifat 6 berlaku :
$ a + b < c + c \rightarrow a + b < 2c \, $ (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, jika $ b > 0 $ maka $ a < c \rightarrow ab < bc $ . Akan tetapi nilai $ b $ di bagian ini bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga $ ab < bc \, $ belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, $ a < c \rightarrow a + (-d) < c + (-d) \rightarrow a - d < c - d $
2). Apakah $ a + b > \sqrt{ab} \, $ benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan hasilnya positif atau nol.
$\begin{align} (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 & \geq 0 \\ a + b - 2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a + b & \geq 2\sqrt{ab} \end{align} $
Karena $ a + b \geq 2\sqrt{ab} , \, $ pasti berlaku juga $ a + b \geq \sqrt{ab} $
Jadi, pernyataan $ a + b \geq \sqrt{ab} \, $ benar.
3). Jika $ a > b \, $ dan $ c > d , \, $ apakah $ ac + bd > ad + bc \, $ benar ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
*). $ a > b \rightarrow a - b > 0 \, $ (psositif)
*). $ c > d \rightarrow c - d > 0 \, $ (positif)
$\spadesuit $ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif hasilnya positif
$\begin{align} (a-b)(c-d) & > 0 \\ ac - ad - bc + bd & > 0 \\ ac + bd & > ad + bc \end{align} $
Jadi, benar untuk $ ac + bd > ad + bc \, $
4). Jika $ x < -2 \, $ dan $ y > 3, \, $ maka nilai $ y - x \, $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Kalikan $ - 1 \, $ pada $ x < -2 \, $ dengan tanda ketaksamaan dibalik
$ x < -2 \rightarrow x . (-1) > -2. (-1) \rightarrow -x > 2 $
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 6 :
$ y > 3 \, $ dan $ -x > 2 , \, $ berlaku $ y + (-x) > 3 + 2 \rightarrow y - x > 5 $
Jadi, nilai $ y - x \, $ adalah lebih besar dari 5.
5). Jika $ -4 < y < 5 , \, $ maka nilai $ y - 4 \, $ adalah ....
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
$\begin{align} -4 < y & < 5 \\ -4 +(-4) < y & + (-4) < 5 + (-4) \\ -8 < y & - 4 < 1 \end{align} $
Jadi nilai $ y - 4 \, $ adalah $ -8 < y - 4 < 1 $
(terletak antara -8 sampai 1 )
6). Jika $ -3 < x < 4 , \, $ maka nilai $ (x-2)^2 \, $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
$\begin{align} -3 < & x < 4 \\ -3 + (-2) < x & + (-2) < 4 + (-2) \\ -5 < x & -2 < 2 \end{align} $
Artinya nilai $ x - 2 \, $ terletak antara -5 sampai 2, sehingga :
nilai terkecil dari $ (x - 2)^2 = 0^2 = 0 \, $ dan
nilai terbesarnya $ (x-2)^2 = (-5)^2 = 25 $
Jadi, nilai $ (x-2)^2 \, $ adalah $ 0 \leq (x-2)^2 < 25 $
Sifat-sifat Pertidaksamaan
Untuk $ a, b, c, d, \in R, \, $ berlaku sifat-sifat pertidaksamaan berikut :
1). Jika $ a < b , \, $ maka $ b > a $
2). Jika $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ maka $ a < c \, $ (sifat transitif)
3). Jika $ a < b \, $ dan $ c \in R , \, $ maka $ a + c < b + c. \, $
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika $ a < b \, $ dan $ c > 0 , \, $ maka $ ac < bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika $ a < b \, $ dan $ c < 0 , \, $ maka $ ac > bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika $ a < b \, $ dan $ c < d , \, $ maka $ a + c < b+d $
7). Jika $ \frac{a}{b} < 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b < 0 $
8). Jika $ \frac{a}{b} > 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b > 0 $
9). Untuk semua $ a \in R , \, $ berlaku $ a^2 \geq 0 $
Catatan :
*). Sifat 3 : jika setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan jika dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel "Pertidaksamaan secara Umum"
1). Jika $ a < b , \, $ maka $ b > a $
2). Jika $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ maka $ a < c \, $ (sifat transitif)
3). Jika $ a < b \, $ dan $ c \in R , \, $ maka $ a + c < b + c. \, $
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika $ a < b \, $ dan $ c > 0 , \, $ maka $ ac < bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika $ a < b \, $ dan $ c < 0 , \, $ maka $ ac > bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika $ a < b \, $ dan $ c < d , \, $ maka $ a + c < b+d $
7). Jika $ \frac{a}{b} < 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b < 0 $
8). Jika $ \frac{a}{b} > 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b > 0 $
9). Untuk semua $ a \in R , \, $ berlaku $ a^2 \geq 0 $
Catatan :
*). Sifat 3 : jika setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan jika dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel "Pertidaksamaan secara Umum"
Contoh
1). Diketahui $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). $ a < c $
ii). $ a + 2 < b + 2 $
iii). $ 2a < b + c $
iv). $ a + b < 2c $
v). $ ab < bc $
vi). $ a - d < c - d $
Penyelesaian :
i). $ a < c \, $ benar berdasarkan sifat 2.
ii). $ a + 2 < b + 2 \, $ benar berdasarkan sifat 3.
iii). dari $ a < b \, $ dan $ a < c $ , berdasarkan sifat 6 berlaku :
$ a + a < b + c \rightarrow 2a < b + c \, $
artinya benar untuk $ 2a < b + c $
iv). dari $ a < c \, $ dan $ b < c \, $ berdasarkan sifat 6 berlaku :
$ a + b < c + c \rightarrow a + b < 2c \, $ (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, jika $ b > 0 $ maka $ a < c \rightarrow ab < bc $ . Akan tetapi nilai $ b $ di bagian ini bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga $ ab < bc \, $ belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, $ a < c \rightarrow a + (-d) < c + (-d) \rightarrow a - d < c - d $
2). Apakah $ a + b > \sqrt{ab} \, $ benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan hasilnya positif atau nol.
$\begin{align} (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 & \geq 0 \\ a + b - 2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a + b & \geq 2\sqrt{ab} \end{align} $
Karena $ a + b \geq 2\sqrt{ab} , \, $ pasti berlaku juga $ a + b \geq \sqrt{ab} $
Jadi, pernyataan $ a + b \geq \sqrt{ab} \, $ benar.
3). Jika $ a > b \, $ dan $ c > d , \, $ apakah $ ac + bd > ad + bc \, $ benar ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
*). $ a > b \rightarrow a - b > 0 \, $ (psositif)
*). $ c > d \rightarrow c - d > 0 \, $ (positif)
$\spadesuit $ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif hasilnya positif
$\begin{align} (a-b)(c-d) & > 0 \\ ac - ad - bc + bd & > 0 \\ ac + bd & > ad + bc \end{align} $
Jadi, benar untuk $ ac + bd > ad + bc \, $
4). Jika $ x < -2 \, $ dan $ y > 3, \, $ maka nilai $ y - x \, $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Kalikan $ - 1 \, $ pada $ x < -2 \, $ dengan tanda ketaksamaan dibalik
$ x < -2 \rightarrow x . (-1) > -2. (-1) \rightarrow -x > 2 $
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 6 :
$ y > 3 \, $ dan $ -x > 2 , \, $ berlaku $ y + (-x) > 3 + 2 \rightarrow y - x > 5 $
Jadi, nilai $ y - x \, $ adalah lebih besar dari 5.
5). Jika $ -4 < y < 5 , \, $ maka nilai $ y - 4 \, $ adalah ....
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
$\begin{align} -4 < y & < 5 \\ -4 +(-4) < y & + (-4) < 5 + (-4) \\ -8 < y & - 4 < 1 \end{align} $
Jadi nilai $ y - 4 \, $ adalah $ -8 < y - 4 < 1 $
(terletak antara -8 sampai 1 )
6). Jika $ -3 < x < 4 , \, $ maka nilai $ (x-2)^2 \, $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
$\begin{align} -3 < & x < 4 \\ -3 + (-2) < x & + (-2) < 4 + (-2) \\ -5 < x & -2 < 2 \end{align} $
Artinya nilai $ x - 2 \, $ terletak antara -5 sampai 2, sehingga :
nilai terkecil dari $ (x - 2)^2 = 0^2 = 0 \, $ dan
nilai terbesarnya $ (x-2)^2 = (-5)^2 = 25 $
Jadi, nilai $ (x-2)^2 \, $ adalah $ 0 \leq (x-2)^2 < 25 $