Perubahan Data sering terjadi pada statistika, terutama yang berkaitan dengan pengukuran data seperti "ukuran pemusatan data", "ukuran letak data", dan "ukuran penyebaran data". Perubahan data yang dimaksud adalah setiap data yang ada nilainya dirubah dengan menambahkan, mengurangkan, mengalikan, atau membagi setiap data. Dengan kata lain setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu. Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi "Statistika Secara Umum".
Contoh :
1). Diketahui 10 data ulangan matematika $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ dengan rata-ratanya $ a $ . Jika data diubah menjadi $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ tentukan nilai rata-rata baru dari data tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ adalah $ a $
$ \begin{align} \overline{x} & = a \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10}}{10} & = a \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ dengan menggunakan pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1+1)+(x_2+3)+(x_3+5)+ ... . +(x_{10} + ...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})+(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})}{10} + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{s_{10} \, \text{ deret aritmetika} }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{10}{2}(2.1 + (10-1).2) }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{\not{10}}{2}(2 + 9.2) }{\not{10}} \\ & = a + \frac{1}{2}(2 + 18) \\ & = a + \frac{1}{2}(20) \\ & = a + 10 \end{align} $
Jadi, rata-rata baru data tersebut adalah $ a + 10 $
2). Suatu data yang terdiri dari 6 datum $ x_1, x_2, ...x_6 \, $ mempunyai rata-rata $ b \, $ . Jika setiap data diubah menjadi $ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $ , tentukan rata-rata barunya !
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_6 \, $ adalah $ b $
$ \begin{align} \overline{x} & = b \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_6}{6} & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $ dengan menggunakan pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1-1)+(x_2-2)+(x_3-4)+ ... . +(x_6 -32) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)+((-1) + (-2) + (-4) +... + (-32)) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)}{6} + \frac{-(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{s_{6} \, \text{ deret geometri} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{1(2^6 - 1)}{2-1} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{(64 - 1)}{1} }{6} \\ & = b - \frac{63}{6} \\ & = b - 10\frac{1}{2} \\ & = b - 10,5 \end{align} $
Jadi, rata-rata baru data tersebut adalah $ b - 10,5 $
Contoh :
1). Diketahui suatu data memiliki rata-rata 6 dan jangkauan 9. Jika setiap data ditambahkan 2 dan hasilnya dikalikan dengan 5, tentukan nilai rata-rata dan jangkauan baru yang terbentuk.!
Penyelesaian :
*). Ingat, rata-rata akan berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ (\text{rata-rata awal } + 2) \times 5 = (6 + 2) \times 5 = 8 \times 5 = 40 $
*). Ingat, jangkauan hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ \text{jangkauan awal } \times 5 = 9 \times 5 = 45 $
2). Suatu data memiliki rata-rata 3, mediannya 9, modusnya 7, kuartil pertamanya 2, jangkauannya 15, dan simpangan rata-ratanya 5. Kemudian setiap data dikalikan -2, selanjutnya ditambahkan 8, dan selanjutnya dibagi 4. Tentukan semua nilai rata-rata, median, modus, kuartil pertama, jangkauan, dan simpangan rata-rata barunya!
Penyelesaian :
Operasinya : kali -2, kemudian ditambahkan 8, dan dibagi 4.
*). Ingat, ukuran pemusatan dan ukuran letak data berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ [(3 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 2 : 4 = \frac{1}{2} $
Median baru = $ [(9 \times (-2)) + 8 ] : 4 = (-10) : 4 = -\frac{5}{2} $
Kuartil pertama baru = $ [(2 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 4 : 4 = 1 $
*). Ingat, ukuran penyebaran data berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ (15 \times (-2)) : 4 = (-30) : 4 = - \frac{15}{2} $
Simpangan rata-rata baru = $ (5 \times (-2)) : 4 = (-10) : 4 = - \frac{5}{2} $
3). Suatu data memiliki rata-rata 5 dan jangkauan 3. Setiap data dikalikan $ y \, $ kemudian hasilnya dikurangkan dengan $ x $ , diperoleh rata-rata barunya 10 dan jangkauan barunya 9. Tentukan nilai $ x + y $ ?
Penyelesaian :
*). Permisalan nilai pengukurannya :
$ \overline{x}_{awal} = \, $ rata-rata awal, $ \overline{x}_{awal} = 5 $
$ \overline{x}_{baru} = \, $ rata-rata baru , $ \overline{x}_{baru} = 10 $
$ j_{awal} = \, $ jangkauan awal, $ j_{awal} = 3 $
$ j_{baru} = \, $ jangkauan baru, $ j_{baru} = 9 $
*). Menyusun persamaan dari perubahan data,
Operasinya : dikali $ y \, $ kemudian dikurangkan $ x $
Rata-rata : $ \overline{x}_{baru} = ( \overline{x}_{awal} \times y) - x $
$ 10 = 5y - x \, $ ....pers(i)
Jankauan : $ j_{baru} = j_{awal} \times y $
$ 9 = 3y \rightarrow y = \frac{9}{3} \rightarrow y = 3 $
Pers(i) : $ 10 = 5y - x \rightarrow 10 = 5 \times 3 - x \rightarrow x = 15 - 10 = 5 $
Sehingga nilai $ x + y = 5 + 3 = 8 $
Jadi, nilai $ x + y = 8 $.
Perubahan Data secara tidak beraturan
Perubahan data secara tidak beraturan yang dimaksud adalah setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu yang berbeda-beda setiap datumnya. Untuk perubahan data secara tidak beraturan, biasanya ada kaitannya dengan barisan dan deret aritmetika atau geometri, terutama yang berkaitan dengan jumlah $ n $ suku pertamanya.
Rumus dasar jumlah $ n $ suku pertama deret :
Deret aritmetika : $ \begin{align} s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda, $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = .... $
Deret Geometri : $ \begin{align} s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio, $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $
Rumus dasar jumlah $ n $ suku pertama deret :
Deret aritmetika : $ \begin{align} s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda, $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = .... $
Deret Geometri : $ \begin{align} s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio, $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $
Contoh :
1). Diketahui 10 data ulangan matematika $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ dengan rata-ratanya $ a $ . Jika data diubah menjadi $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ tentukan nilai rata-rata baru dari data tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ adalah $ a $
$ \begin{align} \overline{x} & = a \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10}}{10} & = a \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ dengan menggunakan pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1+1)+(x_2+3)+(x_3+5)+ ... . +(x_{10} + ...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})+(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})}{10} + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{s_{10} \, \text{ deret aritmetika} }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{10}{2}(2.1 + (10-1).2) }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{\not{10}}{2}(2 + 9.2) }{\not{10}} \\ & = a + \frac{1}{2}(2 + 18) \\ & = a + \frac{1}{2}(20) \\ & = a + 10 \end{align} $
Jadi, rata-rata baru data tersebut adalah $ a + 10 $
2). Suatu data yang terdiri dari 6 datum $ x_1, x_2, ...x_6 \, $ mempunyai rata-rata $ b \, $ . Jika setiap data diubah menjadi $ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $ , tentukan rata-rata barunya !
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_6 \, $ adalah $ b $
$ \begin{align} \overline{x} & = b \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_6}{6} & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $ dengan menggunakan pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1-1)+(x_2-2)+(x_3-4)+ ... . +(x_6 -32) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)+((-1) + (-2) + (-4) +... + (-32)) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)}{6} + \frac{-(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{s_{6} \, \text{ deret geometri} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{1(2^6 - 1)}{2-1} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{(64 - 1)}{1} }{6} \\ & = b - \frac{63}{6} \\ & = b - 10\frac{1}{2} \\ & = b - 10,5 \end{align} $
Jadi, rata-rata baru data tersebut adalah $ b - 10,5 $
Perubahan Data secara beraturan
Perubahan data secara beraturan yang dimaksud adalah setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu yang sama setiap datumnya. Untuk perubahan data secara beraturan, pengerjaannya biasanya lebih mudah.
$\clubsuit $ Pengukuran pertama : ukuran pemusatan dan letak data yang terdiri dari Mean (rata-rata), modus, median, kuartil, desil, dan persentil.
Untuk pengukuran jenis pertama ini, nilanya berubah untuk semua jenis operasi($+,-,\times , :$).
$\clubsuit $ Pengukuran kedua : ukuran penyebaran yang terdiri dari jangkauan, simpangan, dan ragam.
Untuk pengukuran jenis kedua ini, nilainya berubah hanya untuk operasi perkalian ($\times$) dan pembagian ($:$).
Untuk Caranya : NGIKUT SOAL.
Berikut tabel ringkas perubahan data untuk semua jenis pengukuran :
Menyelesaikan perubahan data secara beraturan :
Untuk perubahan data secara beraturan, pengukuran data kita bagi menjadi dua yaitu yang pertama ukuran pemusatan dan ukuran letak data, dan yang kedua ukuran penyebaran.$\clubsuit $ Pengukuran pertama : ukuran pemusatan dan letak data yang terdiri dari Mean (rata-rata), modus, median, kuartil, desil, dan persentil.
Untuk pengukuran jenis pertama ini, nilanya berubah untuk semua jenis operasi($+,-,\times , :$).
$\clubsuit $ Pengukuran kedua : ukuran penyebaran yang terdiri dari jangkauan, simpangan, dan ragam.
Untuk pengukuran jenis kedua ini, nilainya berubah hanya untuk operasi perkalian ($\times$) dan pembagian ($:$).
Untuk Caranya : NGIKUT SOAL.
Berikut tabel ringkas perubahan data untuk semua jenis pengukuran :
Kasus khusus Perubahan Data secara beraturan
Misalkan ada suatu data yang memiliki rata-rata $ p, \, $ mediannya $ q, \, $ jangkauannya $ r . \, $ Kemudian setiap nilai pada data diubah seperti berikut, setelah itu kita akan menentukan rata-rata barun, median baru, dan jangkauan baru.
*). Pertaman data dubah dengan setiap nilai (datum) ditambahkan $ a \, $ , maka diperoleh :
Rata-rata baru = $ p + a $
Median baru = $ q + a $
Jangkauan baru = $ r $
Sedangkan jangkauannya tetap karena ukuran penyebaran hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
*). Kedua data diubah dengan setiap datum dikurangkan $ a \, $ kemudian hasilnya dikalikan $ b $ . Kita peroleh :
Operasinya dikurang dulu baru dikali (ngikut soal),
Rata-rata baru = $ (p - a) \times b $
Median baru = $ (q - a) \times b $
Jangkauan baru = $ r \times b \ , $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
*). Ketiga data diubah dengan setiap datum ditambah $ a, \, $ kemudian dikali $ b , \, $ dan selanjutnya dibagi $ c \, $ , kita peroleh :
Operasinya ditambah dulu, kemudian dikali, dan terakhir dibagi.
Rata-rata baru = $ [(p + a) \times b ] : c $
Median baru = $ [(q + a) \times b ] : c $
Jangkauan baru = $ (r \times b ) : c \, $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
Begitu seterusnya, catatan penting yang diingat adalah caranya NGIKUT SOAL, maksudnya operasinya mengikut perintah pada soal.
*). Pertaman data dubah dengan setiap nilai (datum) ditambahkan $ a \, $ , maka diperoleh :
Rata-rata baru = $ p + a $
Median baru = $ q + a $
Jangkauan baru = $ r $
Sedangkan jangkauannya tetap karena ukuran penyebaran hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
*). Kedua data diubah dengan setiap datum dikurangkan $ a \, $ kemudian hasilnya dikalikan $ b $ . Kita peroleh :
Operasinya dikurang dulu baru dikali (ngikut soal),
Rata-rata baru = $ (p - a) \times b $
Median baru = $ (q - a) \times b $
Jangkauan baru = $ r \times b \ , $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
*). Ketiga data diubah dengan setiap datum ditambah $ a, \, $ kemudian dikali $ b , \, $ dan selanjutnya dibagi $ c \, $ , kita peroleh :
Operasinya ditambah dulu, kemudian dikali, dan terakhir dibagi.
Rata-rata baru = $ [(p + a) \times b ] : c $
Median baru = $ [(q + a) \times b ] : c $
Jangkauan baru = $ (r \times b ) : c \, $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
Begitu seterusnya, catatan penting yang diingat adalah caranya NGIKUT SOAL, maksudnya operasinya mengikut perintah pada soal.
Contoh :
1). Diketahui suatu data memiliki rata-rata 6 dan jangkauan 9. Jika setiap data ditambahkan 2 dan hasilnya dikalikan dengan 5, tentukan nilai rata-rata dan jangkauan baru yang terbentuk.!
Penyelesaian :
*). Ingat, rata-rata akan berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ (\text{rata-rata awal } + 2) \times 5 = (6 + 2) \times 5 = 8 \times 5 = 40 $
*). Ingat, jangkauan hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ \text{jangkauan awal } \times 5 = 9 \times 5 = 45 $
2). Suatu data memiliki rata-rata 3, mediannya 9, modusnya 7, kuartil pertamanya 2, jangkauannya 15, dan simpangan rata-ratanya 5. Kemudian setiap data dikalikan -2, selanjutnya ditambahkan 8, dan selanjutnya dibagi 4. Tentukan semua nilai rata-rata, median, modus, kuartil pertama, jangkauan, dan simpangan rata-rata barunya!
Penyelesaian :
Operasinya : kali -2, kemudian ditambahkan 8, dan dibagi 4.
*). Ingat, ukuran pemusatan dan ukuran letak data berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ [(3 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 2 : 4 = \frac{1}{2} $
Median baru = $ [(9 \times (-2)) + 8 ] : 4 = (-10) : 4 = -\frac{5}{2} $
Kuartil pertama baru = $ [(2 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 4 : 4 = 1 $
*). Ingat, ukuran penyebaran data berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ (15 \times (-2)) : 4 = (-30) : 4 = - \frac{15}{2} $
Simpangan rata-rata baru = $ (5 \times (-2)) : 4 = (-10) : 4 = - \frac{5}{2} $
3). Suatu data memiliki rata-rata 5 dan jangkauan 3. Setiap data dikalikan $ y \, $ kemudian hasilnya dikurangkan dengan $ x $ , diperoleh rata-rata barunya 10 dan jangkauan barunya 9. Tentukan nilai $ x + y $ ?
Penyelesaian :
*). Permisalan nilai pengukurannya :
$ \overline{x}_{awal} = \, $ rata-rata awal, $ \overline{x}_{awal} = 5 $
$ \overline{x}_{baru} = \, $ rata-rata baru , $ \overline{x}_{baru} = 10 $
$ j_{awal} = \, $ jangkauan awal, $ j_{awal} = 3 $
$ j_{baru} = \, $ jangkauan baru, $ j_{baru} = 9 $
*). Menyusun persamaan dari perubahan data,
Operasinya : dikali $ y \, $ kemudian dikurangkan $ x $
Rata-rata : $ \overline{x}_{baru} = ( \overline{x}_{awal} \times y) - x $
$ 10 = 5y - x \, $ ....pers(i)
Jankauan : $ j_{baru} = j_{awal} \times y $
$ 9 = 3y \rightarrow y = \frac{9}{3} \rightarrow y = 3 $
Pers(i) : $ 10 = 5y - x \rightarrow 10 = 5 \times 3 - x \rightarrow x = 15 - 10 = 5 $
Sehingga nilai $ x + y = 5 + 3 = 8 $
Jadi, nilai $ x + y = 8 $.