Jarak dua titik dan titik ke garis merupakan salah satu materi yang cukup penting, biasanya dipakai salah satunya pada materi persamaan lingkaran. Pada artikel ini, kita akan mempelajari jarak antara dua titik, jarak sebuah titik ke garis, dan menentukan titik tengah jika diketahui dua titik.
Jarak dua titik dan titik ke garis ada kaitannya dengan persamaan garis lurus, khususnya materi jarak titik ke garis. Garis yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan garis lurus yaitu $ ax + by + c = 0 \, $ . Untuk konsep jarak yang dipakai adalah jarak terdekat baik dua titik maupun titik ke garis.
Contoh :
Tentukan jarak titik A(2,1) ke titik B(-3,4) !
Penyelesaian :
*). Menetukan jarak A ke B ($|AB|$) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \\ & = \sqrt{(2-(-3))^2 + (4-1)^2} \\ & = \sqrt{(5)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{25 + 9} \\ & = \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah $ \sqrt{34} $ .
Contoh :
Tentukan jarak titik A(3,5) ke garis $ -3x - 4y = - 9 $ !
Penyelesaian :
*). Persamaan garis dirubah dalam bentuk $ ax+by+c=0 $
$ -3x - 4y = - 9 \rightarrow -3x - 4y + 9 = 0 $
*). Jarak A($x_1,y_1$) = (3,5) ke garis $ -3x - 4y + 9 = 0 $
$ \begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3x - 4y + 9}{\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3.3 - 4.5 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{-20}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-20}{ 5 } \right| \\ & = \left| -4 \right| \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, jarak titik ke garisnya adalah 4.
Contoh :
Diketahui titik A(3,6) dan B(1, -2). Tentukan titik tengah antara titik A dan titik B!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik tengahnya, misalkan titik C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{3 + 1}{2} , \frac{6 + (-2)}{2} \right) \\ & = \left( \frac{4}{2} , \frac{4}{2} \right) \\ & = \left( 2,2 \right) \end{align} $
Jadi, titik tengahnya adalah C(2,2).
Jarak dua titik dan titik ke garis ada kaitannya dengan persamaan garis lurus, khususnya materi jarak titik ke garis. Garis yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan garis lurus yaitu $ ax + by + c = 0 \, $ . Untuk konsep jarak yang dipakai adalah jarak terdekat baik dua titik maupun titik ke garis.
Jarak dua titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$)
Untuk menentukan jarak titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$), kita misalkan jaraknya sebagai mutlak dari AB. Sehingga rumus jaraknya :
$\begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(\text{selisih } x)^2 + (\text{selisih } y)^2} \\ |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & \text{ atau } \\ |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \end{align} $
$\begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(\text{selisih } x)^2 + (\text{selisih } y)^2} \\ |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & \text{ atau } \\ |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \end{align} $
Tentukan jarak titik A(2,1) ke titik B(-3,4) !
Penyelesaian :
*). Menetukan jarak A ke B ($|AB|$) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \\ & = \sqrt{(2-(-3))^2 + (4-1)^2} \\ & = \sqrt{(5)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{25 + 9} \\ & = \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah $ \sqrt{34} $ .
Jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $
Perhatiakan gambar dibawah ini. Terlihat bahwa jarak titik A ke garis adalah jarak terdekatnya yang dicapai pada saat garis AD tegak lurus dengan garis $ ax+by+c=0 . \, $ Jarak titik A ke garis $ ax+by=0 $ sama dengan jarak A ke titik D, hanya saja sulit untuk mencari titik D pada garis $ ax+by+c=0 $ . Tapi tenang saja, kita langsung bisa menggunakan rumus jarak titik ke garis tanpa harus mencari titik D.
Rumus jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $ :
$\begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \end{align} $
$\begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \end{align} $
Tentukan jarak titik A(3,5) ke garis $ -3x - 4y = - 9 $ !
Penyelesaian :
*). Persamaan garis dirubah dalam bentuk $ ax+by+c=0 $
$ -3x - 4y = - 9 \rightarrow -3x - 4y + 9 = 0 $
*). Jarak A($x_1,y_1$) = (3,5) ke garis $ -3x - 4y + 9 = 0 $
$ \begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3x - 4y + 9}{\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3.3 - 4.5 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{-20}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-20}{ 5 } \right| \\ & = \left| -4 \right| \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, jarak titik ke garisnya adalah 4.
Menentukan titik tengah jika diketahui dua titik
Misalkan ada titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) serta titik tengahnya C, kita akan menentukan titik tengah yaitu titik antara titik A dan titik B.
Cara menentukan titik tengahnya C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \end{align} $
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \end{align} $
Diketahui titik A(3,6) dan B(1, -2). Tentukan titik tengah antara titik A dan titik B!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik tengahnya, misalkan titik C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{3 + 1}{2} , \frac{6 + (-2)}{2} \right) \\ & = \left( \frac{4}{2} , \frac{4}{2} \right) \\ & = \left( 2,2 \right) \end{align} $
Jadi, titik tengahnya adalah C(2,2).