Pembuktian Rumus Pesamaan Garis Singgung Lingkaran merupakan penjelasan mengenai asal-usul rumus persamaan garis singgung. Namun sebelumnya, coba baca dulu materi "persamaan lingkaran" dan "Persamaan Garis Singgung Lingkaran". Sementara untuk menyusun persamaan garis, silahkan baca materi "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus" dan "Hubungan Dua Garis Lurus".
Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ x^2 + y^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1}{x_1} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1}{x_1} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1}{y_1} ( x- x_1) \\ y_1(y - y_1 ) & = - x_1 ( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 & = - x_1 x- x_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , diperoleh : $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ adalah $ x_1 x + y_1y = r^2 $ .
Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1-b}{x_1-a} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1-b}{x_1-a} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1-a}{y_1-b} ( x- x_1) \\ (y_1-b)(y - y_1 ) & = - (x_1 -a)( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 - by + by_1 & = -(x_1x -x_1^2 - ax + ax_1) \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ , diperoleh :
$ \begin{align} (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 & = r^2 \\ x_1^2 - 2ax_1 + a^2 + y_1^2 - 2by_1 + b^2 & = r^2 \\ x_1^2 + y_1^2 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \end{align} $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ adalah $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $ .
Pembuktian :
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 \, $ dan substitusikan bentuk $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
*). Penjabaran bentuk $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ x_1x + y_1y - a(x_1 + x) - b(y_1+y) + a^2 + b^2 - r^2 & = 0 \\ x_1x + y_1y - (-\frac{A}{2}).(x_1 + x) - (-\frac{B}{2})(y_1+y) + C & = 0 \\ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ adalah $ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 $ .
Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + (mx+n)^2 & = r^2 \\ x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 & = r^2 \\ (m^2+1)x^2 + 2mnx + n^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2mn , \, c & = n^2 - r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2mn)^2 - 4.(m^2 + 1) . (n^2 - r^2 ) & = 0 \\ 4m^2n^2 - 4(n^2 + m^2n^2 - r^2 - m^2r^2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2n^2 - n^2 - m^2n^2 + r^2 + m^2r^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ n^2 & = r^2 + m^2r^2 \\ n^2 & = r^2 (1 + m^2) \\ n & = \pm \sqrt{ r^2 (1 + m^2) } \\ n & = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} $
Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \\ (x-a)^2 + (mx + n -b)^2 = r^2 \\ x^2 -2ax + a^2 + m^2x^2 + 2m(n-b)x + (n-b)^2 - r^2 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + [2m(n-b) - 2a ]x + (n-b)^2 + a^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = [2m(n-b) - 2a ] , \, c & = (n-b)^2 + a^2 - r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [2m(n-b) - 2a ]^2 - 4.(m^2 + 1) . ((n-b)^2 + a^2 - r^2 ) & = 0 \\ (b-am-n)^2 & = r^2(1+m^2) \\ b - am - n & = \pm \sqrt{r^2(1+m^2)} \\ b - am - n & = \pm r \sqrt{1+m^2} \\ n & = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $ y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} $
Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1}{x_1} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1}{x_1} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1}{y_1} ( x- x_1) \\ y_1(y - y_1 ) & = - x_1 ( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 & = - x_1 x- x_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , diperoleh : $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ adalah $ x_1 x + y_1y = r^2 $ .
Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \end{align} $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \end{align} $
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1-b}{x_1-a} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1-b}{x_1-a} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1-a}{y_1-b} ( x- x_1) \\ (y_1-b)(y - y_1 ) & = - (x_1 -a)( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 - by + by_1 & = -(x_1x -x_1^2 - ax + ax_1) \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ , diperoleh :
$ \begin{align} (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 & = r^2 \\ x_1^2 - 2ax_1 + a^2 + y_1^2 - 2by_1 + b^2 & = r^2 \\ x_1^2 + y_1^2 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \end{align} $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ adalah $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $ .
Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B \frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 \end{align} $
dengan $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B \frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 \end{align} $
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 \, $ dan substitusikan bentuk $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
*). Penjabaran bentuk $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ x_1x + y_1y - a(x_1 + x) - b(y_1+y) + a^2 + b^2 - r^2 & = 0 \\ x_1x + y_1y - (-\frac{A}{2}).(x_1 + x) - (-\frac{B}{2})(y_1+y) + C & = 0 \\ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ adalah $ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 $ .
Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + (mx+n)^2 & = r^2 \\ x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 & = r^2 \\ (m^2+1)x^2 + 2mnx + n^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2mn , \, c & = n^2 - r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2mn)^2 - 4.(m^2 + 1) . (n^2 - r^2 ) & = 0 \\ 4m^2n^2 - 4(n^2 + m^2n^2 - r^2 - m^2r^2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2n^2 - n^2 - m^2n^2 + r^2 + m^2r^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ n^2 & = r^2 + m^2r^2 \\ n^2 & = r^2 (1 + m^2) \\ n & = \pm \sqrt{ r^2 (1 + m^2) } \\ n & = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} $
Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ atau $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \\ (x-a)^2 + (mx + n -b)^2 = r^2 \\ x^2 -2ax + a^2 + m^2x^2 + 2m(n-b)x + (n-b)^2 - r^2 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + [2m(n-b) - 2a ]x + (n-b)^2 + a^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = [2m(n-b) - 2a ] , \, c & = (n-b)^2 + a^2 - r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [2m(n-b) - 2a ]^2 - 4.(m^2 + 1) . ((n-b)^2 + a^2 - r^2 ) & = 0 \\ (b-am-n)^2 & = r^2(1+m^2) \\ b - am - n & = \pm \sqrt{r^2(1+m^2)} \\ b - am - n & = \pm r \sqrt{1+m^2} \\ n & = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $ y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} $