Pertidaksamaan Bentuk Akar merupakan pertidaksamaan yang melibatkan bentuk akar atau fungsi dalam akar. Fungsi yang ada dalam akar bentuknya berbagai macam, bisa fungsi linear, fungsi kuadrat, bentuk pecahan, atau fungsi lainnya. Untuk memudahkan memahami pertidaksamaan bentuk akar ini, sebaiknya kita mempelajari dahulu materi "Pertidaksamaan secara Umum", "Sifat-sifat Pertidaksamaan", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", dan "Pertidaksamaan Pecahan".
Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan bentuk akar $ \sqrt{4-2x} < \sqrt{x+3} $ !
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Solusi umum :
Menentukan akar-akar dengan kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{4-2x} & < \sqrt{x+3} \\ (\sqrt{4-2x})^2 & < (\sqrt{x+3})^2 \\ 4-2x & < x+3 \\ -2x - x & < 3 - 4 \\ - 3 x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi -3, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{-1}{-3} \\ x & > \frac{1}{3} \end{align} $
Artinya HP1 = $ \{ x > \frac{1}{3} \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). $ \sqrt{4-2x} \geq 0 \rightarrow -2x \geq -4 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP2)
*). $ \sqrt{x + 3} > 0 \rightarrow x > -3 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusinya adalah irisan dari semuanya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $
2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar :
a). $ \sqrt{x^2 - x - 2 } < 2 $
b). $ \sqrt{x^2 - 4} > x - 3 $
c). $ \sqrt{x^2 - 4 } < x-3 $
Penyelesaian :
a). $ \spadesuit $ Solusi umum :
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - x - 2 } & < 2 \\ (\sqrt{x^2 - x - 2 })^2 & < 2^2 \\ x^2 - x - 2 & < 4 \\ x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align} $
*).Garis bilangannya :
HP1 = $ \{ -2 < x < 3 \} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat (syarat bentuk akar)
$ \sqrt{x^2 - x - 2 } \rightarrow \, $ syaratnya : $ x^2 - x - 2 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - x - 2 & \geq 0 \\ (x+1)(x-2) & \geq 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
HP2 = $ \{ x \leq -1 \vee x \geq 2 \} $
Jadi, HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x \leq -1 \vee 2 \leq x < 3 \} $
b). $ \clubsuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & > x - 3 \\ (\sqrt{x^2 - 4})^2 & > (x - 3)^2 \\ x^2 - 4 & > x^2 - 6x + 9 \\ 6x & > 9 + 4 \\ x & > \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
$ \sqrt{x^2 - 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
HP2 = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > \frac{13}{6} \} $
c). $ \spadesuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & < x - 3 \\ (\sqrt{x^2 - 4})^2 & < (x - 3)^2 \\ x^2 - 4 & < x^2 - 6x + 9 \\ 6x & < 9 + 4 \\ x & < \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). Bentuk $ \sqrt{x^2 - 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
HP2 = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
*).Karena $ \sqrt{x^2 - 4} \geq 0, \, $ maka bentuknya $ 0 \leq \sqrt{x^2 - 4} < (x-3), \, $ artinya
harus berlaku : $ x - 3 > 0 \rightarrow x > 3 \, $ ....(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \, \} \, $ (Himpunan kosong).
artinya tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 4} < x - 3 $
3). Himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \, $ adalah ...!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusi umum
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} x+1 & > \sqrt{5-x^2 } \\ (x+1)^2 & > (\sqrt{5-x^2 })^2 \\ x^2 + 2x + 1 & > 5-x^2 \\ 2x^2 + 2x - 4 & > 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x - 2 & > 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
HP1 = $ \{ x < -2 \vee x > 1 \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat (syarat dalam akar)
*). Bentuk $ \sqrt{5-x^2 } \, $ , syaratnya : $ 5 - x^2 \geq 0 $
$ \begin{align} 5 - x^2 & \geq 0 \\ 5 - x^2 & = 0 \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{5} \\ x = - \sqrt{5} \vee x & = \sqrt{5} \end{align} $
HP2 = $ \{ -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \} $
*). Karena $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \geq 0 , \, $ , artinya
Haruslah berlaku $ x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ 1 < x \leq \sqrt{5} \} $
4). Agar $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2}} \, $ bernilai real (fungsi $ y \, $ terdefinisi), tentukan syarat nilai $ x \, $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Suatu fungsi bentuk akar $ y = \sqrt{f(x)} \, $ bernilai real, maksudnya bentuk $ \sqrt{f(x)} \, $ bisa dihitung dan nilainya real, yang tercapai untuk dalam akarnya bernilai positif ($f(x) \geq 0 $).
$ \spadesuit $ Bentuk $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2}} \, $ akan bernilai real jika $ \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} \geq 0 $
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan pecahan : $ \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} \geq 0 $
$ \begin{align} \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} & \geq 0 \\ \frac{(x-1)(x+2) }{(x+1)(x-2)} & \geq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ (x-1)(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Akar penyebut : $ (x+1)(x-2) = 0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 \, $
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut).
*).Garis bilangannya
Jadi, syarat nilai $ x \, $ agar fungsi $ y \, $ bernilai real adalah
HP = $ \{ x \leq -2 \vee -1 < x \leq 1 \vee x > 2 \} $ .
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar
Pertidaksamaan bentuk akar merupakan pertidaksamaan yang fungsinya memuat akar.
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.
$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar adalah fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $
$ \spadesuit $ Berikut beberapa bentuk pertidaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $
$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $
$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.
$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar adalah fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $
$ \spadesuit $ Berikut beberapa bentuk pertidaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $
Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan bentuk akar $ \sqrt{4-2x} < \sqrt{x+3} $ !
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Solusi umum :
Menentukan akar-akar dengan kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{4-2x} & < \sqrt{x+3} \\ (\sqrt{4-2x})^2 & < (\sqrt{x+3})^2 \\ 4-2x & < x+3 \\ -2x - x & < 3 - 4 \\ - 3 x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi -3, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{-1}{-3} \\ x & > \frac{1}{3} \end{align} $
Artinya HP1 = $ \{ x > \frac{1}{3} \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). $ \sqrt{4-2x} \geq 0 \rightarrow -2x \geq -4 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP2)
*). $ \sqrt{x + 3} > 0 \rightarrow x > -3 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusinya adalah irisan dari semuanya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $
2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar :
a). $ \sqrt{x^2 - x - 2 } < 2 $
b). $ \sqrt{x^2 - 4} > x - 3 $
c). $ \sqrt{x^2 - 4 } < x-3 $
Penyelesaian :
a). $ \spadesuit $ Solusi umum :
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - x - 2 } & < 2 \\ (\sqrt{x^2 - x - 2 })^2 & < 2^2 \\ x^2 - x - 2 & < 4 \\ x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align} $
*).Garis bilangannya :
$ \spadesuit $ Solusi syarat (syarat bentuk akar)
$ \sqrt{x^2 - x - 2 } \rightarrow \, $ syaratnya : $ x^2 - x - 2 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - x - 2 & \geq 0 \\ (x+1)(x-2) & \geq 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
Jadi, HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x \leq -1 \vee 2 \leq x < 3 \} $
b). $ \clubsuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & > x - 3 \\ (\sqrt{x^2 - 4})^2 & > (x - 3)^2 \\ x^2 - 4 & > x^2 - 6x + 9 \\ 6x & > 9 + 4 \\ x & > \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
$ \sqrt{x^2 - 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > \frac{13}{6} \} $
c). $ \spadesuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & < x - 3 \\ (\sqrt{x^2 - 4})^2 & < (x - 3)^2 \\ x^2 - 4 & < x^2 - 6x + 9 \\ 6x & < 9 + 4 \\ x & < \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). Bentuk $ \sqrt{x^2 - 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
*).Karena $ \sqrt{x^2 - 4} \geq 0, \, $ maka bentuknya $ 0 \leq \sqrt{x^2 - 4} < (x-3), \, $ artinya
harus berlaku : $ x - 3 > 0 \rightarrow x > 3 \, $ ....(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \, \} \, $ (Himpunan kosong).
artinya tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 4} < x - 3 $
3). Himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \, $ adalah ...!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusi umum
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} x+1 & > \sqrt{5-x^2 } \\ (x+1)^2 & > (\sqrt{5-x^2 })^2 \\ x^2 + 2x + 1 & > 5-x^2 \\ 2x^2 + 2x - 4 & > 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x - 2 & > 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat (syarat dalam akar)
*). Bentuk $ \sqrt{5-x^2 } \, $ , syaratnya : $ 5 - x^2 \geq 0 $
$ \begin{align} 5 - x^2 & \geq 0 \\ 5 - x^2 & = 0 \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{5} \\ x = - \sqrt{5} \vee x & = \sqrt{5} \end{align} $
*). Karena $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \geq 0 , \, $ , artinya
Haruslah berlaku $ x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ 1 < x \leq \sqrt{5} \} $
4). Agar $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2}} \, $ bernilai real (fungsi $ y \, $ terdefinisi), tentukan syarat nilai $ x \, $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Suatu fungsi bentuk akar $ y = \sqrt{f(x)} \, $ bernilai real, maksudnya bentuk $ \sqrt{f(x)} \, $ bisa dihitung dan nilainya real, yang tercapai untuk dalam akarnya bernilai positif ($f(x) \geq 0 $).
$ \spadesuit $ Bentuk $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2}} \, $ akan bernilai real jika $ \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} \geq 0 $
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan pecahan : $ \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} \geq 0 $
$ \begin{align} \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} & \geq 0 \\ \frac{(x-1)(x+2) }{(x+1)(x-2)} & \geq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ (x-1)(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Akar penyebut : $ (x+1)(x-2) = 0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 \, $
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut).
*).Garis bilangannya
HP = $ \{ x \leq -2 \vee -1 < x \leq 1 \vee x > 2 \} $ .