Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak merupakan pertidaksamaan yang melibatkan bentuk nilai mutlak. Untuk memudahkan memahami pertidaksamaan bentuk nilai mutlak ini, sebaiknya kita mempelajari dahulu materi "Pertidaksamaan secara Umum", "Sifat-sifat Pertidaksamaan", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", "Pertidaksamaan Pecahan", dan "Pertidaksamaan Bentuk Akar".
Contoh :
1). $ |3| = 3 \, \, \, $ dan $ |-3| = -(-3) = 3 $
2). Jabarkan bentuk mutlak $ | x - 1 | \, $ berdasarkan definisi nilai mutlak sehingga tanda mutlaknya hilang.!
Penyelesaian :
$ |x-1| = \left\{ \begin{array}{cc} x - 1 & , x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ -(x - 1) & , x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Jadi, untuk $ x \geq 1, \, $ nilai $ |x-1| = x-1 \, $ dan untuk $ x < 1 \, $ nilai $ |x-1| = -(x-1) $
3). Tentukan nilai $ | 2 - \sqrt{5} | - \sqrt{5} + 4 - |-1| $ ?
Penyelesaian :
*). $ | 2 - \sqrt{5} | = - (2-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 \, $ (karena nilai $ 2 - \sqrt{5} < 0 $ )
*). $ |-1| = - (-1) = 1 $
*). Menentukan hasilnya :
$ | 2 - \sqrt{5} | - \sqrt{5} + 4 - |-1| = (\sqrt{5} - 2 ) - \sqrt{5} + 4 - (1) = 1 $
Contoh
1). Tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $ | x - 1 | < 3 $ ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 4 : nilai $ a = 3 $
$ \begin{align} | x & - 1 | < 3 \\ -3 < x & - 1 < 3 \, \, \, \, \text{(tambahkan 1 ke semua ruas)} \\ -3 + 1 < x & - 1 + 1 < 3 + 1 \\ -2 < x & < 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ \{ -2 < x < 4 \} $ .
2). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{|x| + 1 }{x} \leq 2 , \, $ untuk $ x \in R \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $ x \geq 0 , \, $ nilai $ |x| = x $
$ \begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} - 2 & \leq 0 \\ \frac{x + 1 }{x} - \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{x + 1 - 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ -x + 1 = 0 \rightarrow x = 1 $
Akar penyebut : $ x = 0 \, $ (akar penyebut tidak ikut)
Garis bilangannya :
Karena $ x \geq 0, \, $ maka HP1 = $ \{ x \geq 0 \} \cap \{ x < 0 \vee x \geq 1 \} = \{ x \geq 1 \} $
*). Untuk $ x < 0 , \, $ nilai $ |x| = -x $
$ \begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} - 2 & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} - \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 - 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-3x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ -3x + 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{3} $
Akar penyebut : $ x = 0 \, $ (akar penyebut tidak ikut)
Garis bilangannya :
Karena $ x < 0, \, $ maka HP2 = $ \{ x < 0 \} \cap \{ x < 0 \vee x \geq \frac{1}{3} \} = \{ x < 0 \} $
Jadi, solusinya : HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \, \text{ atau } \, x \geq 1 \} $
3). Tentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan $ \left| \frac{x-1}{x+2} \right| \geq 1 $ ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Kuadratkan kedua ruas berdasarkan sifat 2,
$ \begin{align} \left| \frac{x-1}{x+2} \right| & \geq 1 \\ \left| \frac{x-1}{x+2} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 & \geq 1 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 - 1 & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - 1 \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - \frac{x+2}{x+2} \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+2}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{(x-1)-(x+2)}{x+2} \right)\left( \frac{(x-1)+(x+2)}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-3}{x+2} \right)\left( \frac{2x + 1 }{x+2} \right) & \geq 0 \\ \frac{-3(2x+1)}{(x+2)^2} & \geq 0 \end{align} $
akar pembilang : $ 2x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{2} $
akar penyebut : $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $
*). Garis bilangannya
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < -2 \vee -2 < x < -\frac{1}{2} \} $
4). Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |3x-1| > |x+1| \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : $ |A| > |B| \rightarrow (A-B)(A+B)>0 $
Misalkan $ A = 3x -1 \, $ dan $ B = x + 1 $
$ \begin{align} |3x-1| & > |x+1| \\ [(3x-1)-(x+1)][(3x-1)+(x+1)] & > 0 \\ [2x - 2][4x] & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 0 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < 0 \vee x > 1 \} $
5). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari $ \left| |x| + x \right| \leq 2 $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $ x \geq 0 , \, $ nilai $ |x| = x $
$ \left| |x| + x \right| = | x + x| = 2x $
$ \begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 2x & \leq 2 \\ x & \leq 1 \end{align} $
Diperoleh HP1 = $ \{ x \leq 1 \} $
*). Untuk $ x < 0 , \, $ nilai $ |x| = -x $
$ \left| |x| + x \right| = | -x + x| = 0 $
$ \begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 0 & \leq 2 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
Artinya semua nilai $ x < 0 \, $ memenuhi pertidaksamaan.
Diperoleh HP2 = $ \{ x < 0 \} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \} \cup \{ x \leq 1 \} = \{ x \leq 1 \} $
6). Jika $ x < 3 \, $ dan $ \left| |x-5| - 2 \right| < x , \, $ maka tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Definisi nilai mutlak : $ |x-5| = \left\{ \begin{array}{cc} x-5 & , x \geq 5 \\ -(x-5) & , x < 5 \end{array} \right. $
Karena yang diminta $ x < 3, \, $ maka $ |x-5| = -(x-5) = 5 - x $
Sehingga : $ \left| |x-5| - 2 \right| = \left| (5-x) - 2 \right| = | 3 - x | $
$ \clubsuit $ Definisi nilai mutlak : $ |3 - x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3 - x & , x \leq 3 \\ -(3-x) & , x > 3 \end{array} \right. $
Karena yang diminta $ x < 3, \, $ maka $ |3-x| = 3 - x $
Artinya bentuk $ \left| |x-5| - 2 \right| = 3 - x $
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$ \begin{align} \left| |x-5| - 2 \right| & < x \\ | 3 - x | & < x \\ 3 - x & < x \\ - 2x & < -3 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x > \frac{3}{2} \} \cap \{ x < 3 \} = \{ \frac{3}{2} < x < 3 \} $
Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari suatu bilangan $ x \, $ dinotasikan $ |x| $ .
Definisi nilai mutlak $ x \, $ ($|x|$) :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |x| = x \, $ atau $ |x| = -x \, $ tergantung nilai $ x $
Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.
Definisi nilai mutlak $ x \, $ ($|x|$) :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |x| = x \, $ atau $ |x| = -x \, $ tergantung nilai $ x $
Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.
Contoh :
1). $ |3| = 3 \, \, \, $ dan $ |-3| = -(-3) = 3 $
2). Jabarkan bentuk mutlak $ | x - 1 | \, $ berdasarkan definisi nilai mutlak sehingga tanda mutlaknya hilang.!
Penyelesaian :
$ |x-1| = \left\{ \begin{array}{cc} x - 1 & , x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ -(x - 1) & , x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Jadi, untuk $ x \geq 1, \, $ nilai $ |x-1| = x-1 \, $ dan untuk $ x < 1 \, $ nilai $ |x-1| = -(x-1) $
3). Tentukan nilai $ | 2 - \sqrt{5} | - \sqrt{5} + 4 - |-1| $ ?
Penyelesaian :
*). $ | 2 - \sqrt{5} | = - (2-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 \, $ (karena nilai $ 2 - \sqrt{5} < 0 $ )
*). $ |-1| = - (-1) = 1 $
*). Menentukan hasilnya :
$ | 2 - \sqrt{5} | - \sqrt{5} + 4 - |-1| = (\sqrt{5} - 2 ) - \sqrt{5} + 4 - (1) = 1 $
Sifat-sifat Nilai Mutlak
Berikut beberapa sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kita gunakan untuk mengerjakan soal-soal pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $ |x| = \sqrt{x^2} $
2). $ |x|^2 = x^2 $
3). $ |x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0 $
(berlaku juga untuk $ |x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0 $ )
4). $ |x| < a \rightarrow -a < x < a $
(berlaku juga $ |x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a $ )
5). $ |x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a $
(berlaklu juga $ |x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a $
6). $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
7). $ |x.y| = |x|.|y| $
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $ |x| = \sqrt{x^2} $
2). $ |x|^2 = x^2 $
3). $ |x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0 $
(berlaku juga untuk $ |x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0 $ )
4). $ |x| < a \rightarrow -a < x < a $
(berlaku juga $ |x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a $ )
5). $ |x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a $
(berlaklu juga $ |x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a $
6). $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
7). $ |x.y| = |x|.|y| $
Contoh
1). Tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $ | x - 1 | < 3 $ ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 4 : nilai $ a = 3 $
$ \begin{align} | x & - 1 | < 3 \\ -3 < x & - 1 < 3 \, \, \, \, \text{(tambahkan 1 ke semua ruas)} \\ -3 + 1 < x & - 1 + 1 < 3 + 1 \\ -2 < x & < 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ \{ -2 < x < 4 \} $ .
2). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{|x| + 1 }{x} \leq 2 , \, $ untuk $ x \in R \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $ x \geq 0 , \, $ nilai $ |x| = x $
$ \begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} - 2 & \leq 0 \\ \frac{x + 1 }{x} - \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{x + 1 - 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ -x + 1 = 0 \rightarrow x = 1 $
Akar penyebut : $ x = 0 \, $ (akar penyebut tidak ikut)
Garis bilangannya :
*). Untuk $ x < 0 , \, $ nilai $ |x| = -x $
$ \begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} - 2 & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} - \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 - 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-3x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ -3x + 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{3} $
Akar penyebut : $ x = 0 \, $ (akar penyebut tidak ikut)
Garis bilangannya :
Jadi, solusinya : HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \, \text{ atau } \, x \geq 1 \} $
3). Tentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan $ \left| \frac{x-1}{x+2} \right| \geq 1 $ ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Kuadratkan kedua ruas berdasarkan sifat 2,
$ \begin{align} \left| \frac{x-1}{x+2} \right| & \geq 1 \\ \left| \frac{x-1}{x+2} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 & \geq 1 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 - 1 & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - 1 \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - \frac{x+2}{x+2} \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+2}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{(x-1)-(x+2)}{x+2} \right)\left( \frac{(x-1)+(x+2)}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-3}{x+2} \right)\left( \frac{2x + 1 }{x+2} \right) & \geq 0 \\ \frac{-3(2x+1)}{(x+2)^2} & \geq 0 \end{align} $
akar pembilang : $ 2x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{2} $
akar penyebut : $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $
*). Garis bilangannya
4). Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |3x-1| > |x+1| \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : $ |A| > |B| \rightarrow (A-B)(A+B)>0 $
Misalkan $ A = 3x -1 \, $ dan $ B = x + 1 $
$ \begin{align} |3x-1| & > |x+1| \\ [(3x-1)-(x+1)][(3x-1)+(x+1)] & > 0 \\ [2x - 2][4x] & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 0 \end{align} $
5). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari $ \left| |x| + x \right| \leq 2 $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $ x \geq 0 , \, $ nilai $ |x| = x $
$ \left| |x| + x \right| = | x + x| = 2x $
$ \begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 2x & \leq 2 \\ x & \leq 1 \end{align} $
Diperoleh HP1 = $ \{ x \leq 1 \} $
*). Untuk $ x < 0 , \, $ nilai $ |x| = -x $
$ \left| |x| + x \right| = | -x + x| = 0 $
$ \begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 0 & \leq 2 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
Artinya semua nilai $ x < 0 \, $ memenuhi pertidaksamaan.
Diperoleh HP2 = $ \{ x < 0 \} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \} \cup \{ x \leq 1 \} = \{ x \leq 1 \} $
6). Jika $ x < 3 \, $ dan $ \left| |x-5| - 2 \right| < x , \, $ maka tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Definisi nilai mutlak : $ |x-5| = \left\{ \begin{array}{cc} x-5 & , x \geq 5 \\ -(x-5) & , x < 5 \end{array} \right. $
Karena yang diminta $ x < 3, \, $ maka $ |x-5| = -(x-5) = 5 - x $
Sehingga : $ \left| |x-5| - 2 \right| = \left| (5-x) - 2 \right| = | 3 - x | $
$ \clubsuit $ Definisi nilai mutlak : $ |3 - x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3 - x & , x \leq 3 \\ -(3-x) & , x > 3 \end{array} \right. $
Karena yang diminta $ x < 3, \, $ maka $ |3-x| = 3 - x $
Artinya bentuk $ \left| |x-5| - 2 \right| = 3 - x $
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$ \begin{align} \left| |x-5| - 2 \right| & < x \\ | 3 - x | & < x \\ 3 - x & < x \\ - 2x & < -3 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x > \frac{3}{2} \} \cap \{ x < 3 \} = \{ \frac{3}{2} < x < 3 \} $