Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) adalah kumpulan persamaan linear dan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang "hubungan garis dan parabola" yang tentu ada kaitannya dengan "fungsi kuadrat" dan nilai "Diskriminan".
Contoh
1). Himpunan penyelesaian SPLK
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -4x + 1 \\ y = x^2 - 3x - 1 \end{array} \right. $
adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\} \, $ , tentukan nilai $ x_1 + x_2 ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = -4x + 1 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 - 3x - 1 \\ -4x + 1 & = x^2 - 3x - 1 \\ x^2 + x - 2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
artinya $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 1 $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = -1 $
2). Tentukan Himpunan penyelesaian (HP) dari SPLK:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x-y-6 = 0 \\ 2x^2-3x+y+3 = 0 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x - 6 $
$ \begin{align} y = 4x - 6 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, 2x^2-3x+y+3 & = 0 \\ 2x^2-3x+(4x-6)+3 & = 0 \\ 2x^2 + x - 3 & = 0 \\ (2x+3)(x-1) & = 0 \\ x_1 = -\frac{3}{2} \vee x_2 & = 1 \end{align} $
$\clubsuit $ Substitusikan nilai $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ ke persamaan garis ($ y= 4x -6$) untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ :
$ x_1 = -\frac{3}{2} \rightarrow y_1 = 4x - 6 = 4 \left(-\frac{3}{2} \right) - 6 = -6 -6 = -12 $
$ x_2 = 1 \rightarrow y_2 = 4x - 6 = 4 (1) - 6 = 4 -6 = -2 $
Jadi, HP nya adalah $ \left\{ \left(-\frac{3}{2}, -12 \right), \, (1, -2) \right\} $
3). Salah satu nilai $x$ yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x^2-4xy+y^2 = 4 \\ 3x + y = 8 \end{array} \right. $
adalah .... ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Faktorkan pers(i) :
$ \begin{align} 4x^2-4xy+y^2 & = 4 \\ (2x -y)(2x-y) & = 4 \\ (2x-y)^2 & = 4 \\ 2x - y & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 2x - y & = \pm 2 \\ 2x - y = 2 \vee 2x - y & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan baru yang diperoleh dengan garis ($3x + y = 8$)
$\begin{array}{cc} 2x - y = 2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ $ \begin{array}{cc} 2x - y = -2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 6 & \\ x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = 2 \, $ atau $ x = \frac{6}{5} $
4). Jika $(a,b)$ memenuhi SP berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 5x^2+3y^2 = 24 \\ \sqrt{5}x - \sqrt{3} y = 3 \end{array} \right. $
maka nilai $ ab =... ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(ii)
$ \begin{align} \sqrt{5}x - \sqrt{3} y & = 3 \\ (\sqrt{5}x - \sqrt{3} y)^2 & = 3^2 \\ 5x^2 + 3y^2 - 2.\sqrt{5}.\sqrt{3} xy & = 9 \\ 5x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{15} xy & = 9 \end{align} $
$\clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) yang baru
$ \begin{array}{cc} 5x^2+3y^2 = 24 & \\ 5x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{15} xy & = 9 & - \\ \hline 2\sqrt{15} xy = 15 & \\ xy = \frac{15}{2\sqrt{15}} & \\ xy = \frac{1}{2} \sqrt{15} & \end{array} $
Jadi, nilai $ ab = \frac{1}{2} \sqrt{15} $
5). Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x - y = p \\ x^2 + 3x + y = -5 \end{array} \right. $
mempunyai tepat satu solusi, tentukan nilai $ x + y ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan (i) dan (ii):
$\begin{array}{cc} x - y = p & \\ x^2 + 3x + y = -5 & + \\ \hline x^2 + 4x = p - 5 & \\ x^2+ 4x + (5-p) = 0 & \end{array} $
$\spadesuit $ SPLK mempunyai satu penyelesaian, syaratnya $D = 0$:
$ D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac = 0 \rightarrow 4^2 - 4.1.(5-p) = 0 \rightarrow p = 1 $
$\spadesuit $ Substitusi $p = 1$ ke persamaan kuadrat:
$ \begin{align} x^2+ 4x + (5-p) & = 0 \\ x^2+ 4x + (5-1) & = 0 \\ x^2+ 4x + 4 & = 0 \\ (x + 2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Substitusi $ x = -2 $ ke pers(ii)
$ x^2 + 3x + y = -5 \rightarrow (-2)^2 + 3.(-2) + y = -5 \rightarrow y = -3 $
Jadi, nilai $ x + y = -2 + (-3) = -5 $
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
Adapun bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
SPLK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px + q \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p \in R $
*). Konstantanya $ q,c \in R $
SPLK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px + q \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p \in R $
*). Konstantanya $ q,c \in R $
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
Langkah-langkah menyelesaikan SPLK :
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .
Jenis-jenis penyelesaian SPLK
SPLK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
$ ax^2 + (b-p)x + (c-q) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-p)^2 - 4a(c-q) $
Jika dilihat dari nilai $D$, SPLK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPLK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, garis memotong kurva di dua titik.
ii). Jika $D = 0$, maka SPLK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, garis menyinggung kurva di satu titik.
iii). Jika $D < 0$, maka SPLK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, garis tidak memotong kurva.
$ ax^2 + (b-p)x + (c-q) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-p)^2 - 4a(c-q) $
Jika dilihat dari nilai $D$, SPLK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPLK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, garis memotong kurva di dua titik.
Contoh
1). Himpunan penyelesaian SPLK
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -4x + 1 \\ y = x^2 - 3x - 1 \end{array} \right. $
adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\} \, $ , tentukan nilai $ x_1 + x_2 ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = -4x + 1 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 - 3x - 1 \\ -4x + 1 & = x^2 - 3x - 1 \\ x^2 + x - 2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
artinya $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 1 $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = -1 $
2). Tentukan Himpunan penyelesaian (HP) dari SPLK:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x-y-6 = 0 \\ 2x^2-3x+y+3 = 0 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x - 6 $
$ \begin{align} y = 4x - 6 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, 2x^2-3x+y+3 & = 0 \\ 2x^2-3x+(4x-6)+3 & = 0 \\ 2x^2 + x - 3 & = 0 \\ (2x+3)(x-1) & = 0 \\ x_1 = -\frac{3}{2} \vee x_2 & = 1 \end{align} $
$\clubsuit $ Substitusikan nilai $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ ke persamaan garis ($ y= 4x -6$) untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ :
$ x_1 = -\frac{3}{2} \rightarrow y_1 = 4x - 6 = 4 \left(-\frac{3}{2} \right) - 6 = -6 -6 = -12 $
$ x_2 = 1 \rightarrow y_2 = 4x - 6 = 4 (1) - 6 = 4 -6 = -2 $
Jadi, HP nya adalah $ \left\{ \left(-\frac{3}{2}, -12 \right), \, (1, -2) \right\} $
3). Salah satu nilai $x$ yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x^2-4xy+y^2 = 4 \\ 3x + y = 8 \end{array} \right. $
adalah .... ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Faktorkan pers(i) :
$ \begin{align} 4x^2-4xy+y^2 & = 4 \\ (2x -y)(2x-y) & = 4 \\ (2x-y)^2 & = 4 \\ 2x - y & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 2x - y & = \pm 2 \\ 2x - y = 2 \vee 2x - y & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan baru yang diperoleh dengan garis ($3x + y = 8$)
$\begin{array}{cc} 2x - y = 2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ $ \begin{array}{cc} 2x - y = -2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 6 & \\ x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = 2 \, $ atau $ x = \frac{6}{5} $
4). Jika $(a,b)$ memenuhi SP berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 5x^2+3y^2 = 24 \\ \sqrt{5}x - \sqrt{3} y = 3 \end{array} \right. $
maka nilai $ ab =... ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(ii)
$ \begin{align} \sqrt{5}x - \sqrt{3} y & = 3 \\ (\sqrt{5}x - \sqrt{3} y)^2 & = 3^2 \\ 5x^2 + 3y^2 - 2.\sqrt{5}.\sqrt{3} xy & = 9 \\ 5x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{15} xy & = 9 \end{align} $
$\clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) yang baru
$ \begin{array}{cc} 5x^2+3y^2 = 24 & \\ 5x^2 + 3y^2 - 2\sqrt{15} xy & = 9 & - \\ \hline 2\sqrt{15} xy = 15 & \\ xy = \frac{15}{2\sqrt{15}} & \\ xy = \frac{1}{2} \sqrt{15} & \end{array} $
Jadi, nilai $ ab = \frac{1}{2} \sqrt{15} $
5). Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x - y = p \\ x^2 + 3x + y = -5 \end{array} \right. $
mempunyai tepat satu solusi, tentukan nilai $ x + y ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan (i) dan (ii):
$\begin{array}{cc} x - y = p & \\ x^2 + 3x + y = -5 & + \\ \hline x^2 + 4x = p - 5 & \\ x^2+ 4x + (5-p) = 0 & \end{array} $
$\spadesuit $ SPLK mempunyai satu penyelesaian, syaratnya $D = 0$:
$ D = 0 \rightarrow b^2 - 4ac = 0 \rightarrow 4^2 - 4.1.(5-p) = 0 \rightarrow p = 1 $
$\spadesuit $ Substitusi $p = 1$ ke persamaan kuadrat:
$ \begin{align} x^2+ 4x + (5-p) & = 0 \\ x^2+ 4x + (5-1) & = 0 \\ x^2+ 4x + 4 & = 0 \\ (x + 2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Substitusi $ x = -2 $ ke pers(ii)
$ x^2 + 3x + y = -5 \rightarrow (-2)^2 + 3.(-2) + y = -5 \rightarrow y = -3 $
Jadi, nilai $ x + y = -2 + (-3) = -5 $