Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) adalah kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang nilai "Diskriminan". Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $
Contoh
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = 2x^2 - 4x + 3 \\ y = x^2 - 3x + 5 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = 2x^2 - 4x + 3 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 - 3x + 5 \\ 2x^2 - 4x + 3 & = x^2 - 3x + 5 \\ x^2 - x - 2 & = 0 \\ (x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
artinya $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\spadesuit $ Substitusi nilai $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 \, $ ke pers(ii)
$ x_1 = -1 \rightarrow y_1 = x^2 - 3x + 5 = (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 9 $
$ x_2 = 2 \rightarrow y_2 = x^2 - 3x + 5 = 2^2 - 3.2 + 5 = 3 $
Jadi, HP nya adalah $ \left\{ (-1,9), \, (2,3) \right\} $
2). Nilai $ x \, $ yang memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 + y^2 = 25 \\ y = 4 \end{array} \right. $
adalah .... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi $ y = 4 \, $ ke pers(i)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x - 6 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + 4^2 & = 25 \\ x^2 + 16 & = 25 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} \\ x & = \pm 3 \\ x_1 = -3 \vee x_2 & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = -3 \, $ atau $ x = 3 $
3). SPKK berikut memiliki satu penyelesaian,
$ \left\{ \begin{array}{c} 2ax^2 + x + 3 - y = 0 \\ y = ax^2 - 2x + a \end{array} \right. $
tentukan nilai $ 4a^2 + 2a - 1 ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusikan pers(ii) ke pers(i)
$ \begin{align} 2ax^2 + x + 3 - y & = 0 \\ 2ax^2 + x + 3 - (ax^2 - 2x + a) & = 0 \\ ax^2 + 3x + (3-a) & = 0 \end{align} $
$\spadesuit $ Syarat mempunyai satu penyelesaian : $ D = 0 $
Dari bentuk : $ ax^2 + 3x + (3-a) = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 3^2 - 4.a.(3-a) & = 0 \\ 9 - 12a + 4a^2 & = 0 \\ (2a-3)^2 & = 0 \\ 2a - 3 & = 0 \\ a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ 4a^2 + 2a - 1 = 4 \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 2. \frac{3}{2} - 1 = 4 . \frac{9}{4} + 3 - 1 = 11 $
Jadi, nilai $ 4a^2 + 2a - 1 = 11 $
4). Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = (a-1)x^2 + \left( \frac{b}{2} - 3 \right)x - 1 \\ y = 2x^2 - 2x + (3-2c) \end{array} \right. $
mempunyai banyak penyelesaian (tak hingga). Tentukan nilai $ a^2 + b^2 - c^2 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Syarat mempunyai banyak penyelesaian adalah besarnya koefisien setiap suku sama ($ a= p, \, b = q, \, c = r $)
Koefisien $ x^2 \, $ : $ \, a - 1 = 2 \rightarrow a = 3 $
Koefisien $ x \, $ : $ \, \frac{b}{2} - 3 = -2 \rightarrow b = 2 $
Konstanta : $ \, -1 = 3-2c \rightarrow c = 2 $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - c^2 = 3^2 + 2^2 - 2^2 = 9 $
Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
Adapun bentuk umum sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p,q \in R $
*). Konstantanya $ r,c \in R $
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p,q \in R $
*). Konstantanya $ r,c \in R $
Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
Langkah-langkah menyelesaikan SPKK :
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .
Jenis-jenis penyelesaian SPKK
SPKK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
$ (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-q)^2 - 4.(a-p).(c-r) $
SPKK memiliki beberapa kemungkinan penyelesaian berdasarkan:
$\spadesuit $ Jika dilihat dari nilai $D$, SPKK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPKK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di dua titik.
ii). Jika $D = 0$, maka SPKK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di satu titik.
iii). Jika $D < 0$, maka SPKK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva tidak berpotongan.
$ \spadesuit $ Jika dilihat dari koefisien dari setiap persamaan
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
i). Jika $ a = p \, $ dan $ b \neq q , \, $ maka SPKK memiliki dua penyelesaian.
ii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c \neq r , \, $ maka SPKK tidak mempunyai penyelesaian karena kedua kurva sejajar dan tidak berimpit.
iii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c = r , \, $ maka SPKK mempunyai banyak penyelesaian (ada tak hingga penyelesaian) karena kedua kurva berimpit.
$ (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-q)^2 - 4.(a-p).(c-r) $
SPKK memiliki beberapa kemungkinan penyelesaian berdasarkan:
$\spadesuit $ Jika dilihat dari nilai $D$, SPKK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPKK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di dua titik.
$ \spadesuit $ Jika dilihat dari koefisien dari setiap persamaan
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
i). Jika $ a = p \, $ dan $ b \neq q , \, $ maka SPKK memiliki dua penyelesaian.
ii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c \neq r , \, $ maka SPKK tidak mempunyai penyelesaian karena kedua kurva sejajar dan tidak berimpit.
iii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c = r , \, $ maka SPKK mempunyai banyak penyelesaian (ada tak hingga penyelesaian) karena kedua kurva berimpit.
Contoh
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = 2x^2 - 4x + 3 \\ y = x^2 - 3x + 5 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = 2x^2 - 4x + 3 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 - 3x + 5 \\ 2x^2 - 4x + 3 & = x^2 - 3x + 5 \\ x^2 - x - 2 & = 0 \\ (x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
artinya $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\spadesuit $ Substitusi nilai $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 \, $ ke pers(ii)
$ x_1 = -1 \rightarrow y_1 = x^2 - 3x + 5 = (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 9 $
$ x_2 = 2 \rightarrow y_2 = x^2 - 3x + 5 = 2^2 - 3.2 + 5 = 3 $
Jadi, HP nya adalah $ \left\{ (-1,9), \, (2,3) \right\} $
2). Nilai $ x \, $ yang memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 + y^2 = 25 \\ y = 4 \end{array} \right. $
adalah .... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi $ y = 4 \, $ ke pers(i)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x - 6 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + 4^2 & = 25 \\ x^2 + 16 & = 25 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} \\ x & = \pm 3 \\ x_1 = -3 \vee x_2 & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = -3 \, $ atau $ x = 3 $
3). SPKK berikut memiliki satu penyelesaian,
$ \left\{ \begin{array}{c} 2ax^2 + x + 3 - y = 0 \\ y = ax^2 - 2x + a \end{array} \right. $
tentukan nilai $ 4a^2 + 2a - 1 ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusikan pers(ii) ke pers(i)
$ \begin{align} 2ax^2 + x + 3 - y & = 0 \\ 2ax^2 + x + 3 - (ax^2 - 2x + a) & = 0 \\ ax^2 + 3x + (3-a) & = 0 \end{align} $
$\spadesuit $ Syarat mempunyai satu penyelesaian : $ D = 0 $
Dari bentuk : $ ax^2 + 3x + (3-a) = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 3^2 - 4.a.(3-a) & = 0 \\ 9 - 12a + 4a^2 & = 0 \\ (2a-3)^2 & = 0 \\ 2a - 3 & = 0 \\ a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ 4a^2 + 2a - 1 = 4 \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 2. \frac{3}{2} - 1 = 4 . \frac{9}{4} + 3 - 1 = 11 $
Jadi, nilai $ 4a^2 + 2a - 1 = 11 $
4). Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = (a-1)x^2 + \left( \frac{b}{2} - 3 \right)x - 1 \\ y = 2x^2 - 2x + (3-2c) \end{array} \right. $
mempunyai banyak penyelesaian (tak hingga). Tentukan nilai $ a^2 + b^2 - c^2 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Syarat mempunyai banyak penyelesaian adalah besarnya koefisien setiap suku sama ($ a= p, \, b = q, \, c = r $)
Koefisien $ x^2 \, $ : $ \, a - 1 = 2 \rightarrow a = 3 $
Koefisien $ x \, $ : $ \, \frac{b}{2} - 3 = -2 \rightarrow b = 2 $
Konstanta : $ \, -1 = 3-2c \rightarrow c = 2 $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - c^2 = 3^2 + 2^2 - 2^2 = 9 $