Pada artikel sebelumnya kita telah mengepostkan materi "Dalil Menelaus pada Segitiga". Pada artikel kali ini, kita akan membahas materi Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya baca juga materi yang berkaitan dengan luas segitiga. Pada Dalil Ceva pada Segitiga, kita akan mempelajari dalil Ceva dan contoh soalnya, dan tidak kalah penting adalah pembuktian dalil Ceva itu sendiri dengan dua cara yaitu menggunakan luas segitiga dan dalil menelaus.
Contoh soal dalil Ceva pada segitiga :
1). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Tentukan nilai $ x $ ?
Penyelesaian :
*). Langsung kita gunakan dalil Ceva,
$ \begin{align} \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = 1 \\ \frac{3}{2}.\frac{4}{9}.\frac{x}{1} & = 1 \\ \frac{2}{3} .x & = 1 \\ x & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{3}{2} $.
2). Diketahui titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi AB, sisi BC, dan sisi AC dengan perbandingan BE : EC = 2 : 3 dan AF : FC = 8 : 9. Jika panjang sisi AB = 28 cm, dan garis AE, BF, CD berpotongan di satu titik, maka tentukan panjang AD?
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,
*). Kita gunakan dalil ceva,
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. \frac{9}{8} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{3}{4} & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{4}{3} \end{align} $
Kita peroleh perbandingan AD : DB = 4 : 3, sehingga AD : AB = 4 : 7.
*). Menentukan panjang AD
$ \begin{align} AD & = \frac{AD}{AB} \times \text{panjang AB} \\ & = \frac{4}{7} \times 28 \\ & = 16 \end{align} $
Jadi, panjang AD = 16 cm.
3). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Jika panjang CD = 14 cm, maka tentukan panjang CO.
Penyelesaian :
*). Karena panjang CF = FA, sehingga $ \frac{CF}{FA} = 1 $.
*). Kita gunakan dalil ceva untuk AD : DB.
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. 1 & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{3}{2} \end{align} $
kita peroleh AD : DB = 3 : 2.
*). Kita gunakan dalil menelaus pada gambar berikut,
Kita peroleh perbandingan DO : OC = 2 : 5, sehingga CO : CD = 5 : 7.
*). Menentukan panjang CO
$ \begin{align} CO & = \frac{CO}{CD} \times \text{panjang CD} \\ & = \frac{5}{7} \times 14 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, panjang CO = 10 cm.
4). Perhatikan gambar berikut,
Diketahui perbandingan BE : EC = 2 : 3, CF : FA = 5 : 4, dan panjang AC = 15 cm. Jika garis GH sejajar dengan garis AC, tentukan panjang GH.
Penyelesaian :
*). Dalil Ceva untuk perbandingan AD : DB,
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. \frac{5}{4} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{5}{6} & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{6}{5} \end{align} $
*). Dalil Menenlaus untuk perbandingan FO : OB,
$ \begin{align} \frac{FO}{OB}. \frac{BD}{DA}. \frac{AC}{CF} & = 1 \\ \frac{FO}{OB}. \frac{5}{6}. \frac{9}{5} & = 1 \\ \frac{FO}{OB}. \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{FO}{OB} & = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan panjang GH dengan kesebangunan (dalil intercep),
Segitiga GBH sebangun dengan segitiga ABC,
$ \begin{align} \frac{GH}{AC} & = \frac{OB}{FB} \\ \frac{GH}{15} & = \frac{3}{5} \\ GH & = \frac{3}{5} \times 15 \\ GH & = 9 \end{align} $
Jadi, panjang GH = 9 cm.
5). Diketahui gambar segitiga seperti berikut ini,
Jika $ \sin \angle ACF = a \sin \angle BCF , \, $ maka tentukan nilai $ a^2 + 3 $.
Penyelesaian :
*). Kita gunakan dalil Ceva trigonometri,
$ \begin{align} \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}.\frac{\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} }. 1 & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } & = 1 \\ \sin \angle ACF & = \sqrt{2} \sin \angle BCF \end{align} $
Kita peroleh : $ \sin \angle ACF = \sqrt{2} \sin \angle BCF $
dan juga telah diketahui $ \sin \angle ACF = a \sin \angle BCF $
artinya nilai $ a = \sqrt{2} $.
*). Menentukan nilai $ a^2 + 3 $.
$ a^2 + 3 = (\sqrt{2})^2 + 3 = 2 + 3 = 5 $.
Jadi, nilai $ a^2 + 3 = 5 $.
Catatan :
Sebenarnya contoh-contoh soal pada artikel ini kita mempermudahnya dengan langsung ada gambarnya masing-masing. Sebenarnya untuk soal-soal lain, soalnya dalam bentuk cerita sehingga kita harus menggambarnya terlebih dulu yang tentu akan lebih mempersulit kita dalam mengerjakannya.
Dalil Ceva pada Segitiga
Terdapat sebuah segitiga ABC, titik-titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AF seperti gambar berikut.
Dalil Ceva berbunyi :
Untuk memudahkan dalam mengingat, lihat putarannya, memutarnya bisa berlawanan jarum jam atau bisa searah putaran jarum jam seperti gambar berikut,
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren) ,jika dan hanya jika $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
Untuk memudahkan dalam mengingat, lihat putarannya, memutarnya bisa berlawanan jarum jam atau bisa searah putaran jarum jam seperti gambar berikut,
Dalil Ceva pada Segitiga berbentuk Trigonometri
Terdapat sebuah segitiga ABC, titik-titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AF seperti gambar berikut.
Dalil Ceva trigonometri berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
jika dan hanya jika $ \, \, \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1 $.
1). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Penyelesaian :
*). Langsung kita gunakan dalil Ceva,
$ \begin{align} \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = 1 \\ \frac{3}{2}.\frac{4}{9}.\frac{x}{1} & = 1 \\ \frac{2}{3} .x & = 1 \\ x & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{3}{2} $.
2). Diketahui titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi AB, sisi BC, dan sisi AC dengan perbandingan BE : EC = 2 : 3 dan AF : FC = 8 : 9. Jika panjang sisi AB = 28 cm, dan garis AE, BF, CD berpotongan di satu titik, maka tentukan panjang AD?
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. \frac{9}{8} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{3}{4} & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{4}{3} \end{align} $
Kita peroleh perbandingan AD : DB = 4 : 3, sehingga AD : AB = 4 : 7.
*). Menentukan panjang AD
$ \begin{align} AD & = \frac{AD}{AB} \times \text{panjang AB} \\ & = \frac{4}{7} \times 28 \\ & = 16 \end{align} $
Jadi, panjang AD = 16 cm.
3). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Penyelesaian :
*). Karena panjang CF = FA, sehingga $ \frac{CF}{FA} = 1 $.
*). Kita gunakan dalil ceva untuk AD : DB.
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. 1 & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{3}{2} \end{align} $
kita peroleh AD : DB = 3 : 2.
*). Kita gunakan dalil menelaus pada gambar berikut,
Dalil menelaus untuk perbandingan DO : OC,
$ \begin{align} \frac{DO}{OC}. \frac{CF}{FA}. \frac{AB}{BD} & = 1 \\ \frac{DO}{OC}. 1. \frac{5}{2} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} & = \frac{2}{5} \end{align} $Kita peroleh perbandingan DO : OC = 2 : 5, sehingga CO : CD = 5 : 7.
*). Menentukan panjang CO
$ \begin{align} CO & = \frac{CO}{CD} \times \text{panjang CD} \\ & = \frac{5}{7} \times 14 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, panjang CO = 10 cm.
4). Perhatikan gambar berikut,
Penyelesaian :
*). Dalil Ceva untuk perbandingan AD : DB,
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. \frac{5}{4} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{5}{6} & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{6}{5} \end{align} $
*). Dalil Menenlaus untuk perbandingan FO : OB,
*). Menentukan panjang GH dengan kesebangunan (dalil intercep),
$ \begin{align} \frac{GH}{AC} & = \frac{OB}{FB} \\ \frac{GH}{15} & = \frac{3}{5} \\ GH & = \frac{3}{5} \times 15 \\ GH & = 9 \end{align} $
Jadi, panjang GH = 9 cm.
5). Diketahui gambar segitiga seperti berikut ini,
Penyelesaian :
*). Kita gunakan dalil Ceva trigonometri,
$ \begin{align} \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}.\frac{\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} }. 1 & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } & = 1 \\ \sin \angle ACF & = \sqrt{2} \sin \angle BCF \end{align} $
Kita peroleh : $ \sin \angle ACF = \sqrt{2} \sin \angle BCF $
dan juga telah diketahui $ \sin \angle ACF = a \sin \angle BCF $
artinya nilai $ a = \sqrt{2} $.
*). Menentukan nilai $ a^2 + 3 $.
$ a^2 + 3 = (\sqrt{2})^2 + 3 = 2 + 3 = 5 $.
Jadi, nilai $ a^2 + 3 = 5 $.
Catatan :
Sebenarnya contoh-contoh soal pada artikel ini kita mempermudahnya dengan langsung ada gambarnya masing-masing. Sebenarnya untuk soal-soal lain, soalnya dalam bentuk cerita sehingga kita harus menggambarnya terlebih dulu yang tentu akan lebih mempersulit kita dalam mengerjakannya.
Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga
Untuk membuktikan dalil Ceva pada segitiga, ada dua cara pembuktian yang akan ditampilkan pada artikel ini yaitu menggunakan luas segitiga dan menggunakan dalil Menenlaus .
Pada dalil Ceva terdapat kata "jika dan hanya jika", artinya pembuktiannya ada dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan , kedua arah harus dibuktikan.
Pembuktian dari kiri ke kanan :
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren),
maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
Pembuktian dari kanan ke kiri :
Jika berlaku $ \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 , \, $
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren).
Pada dalil Ceva terdapat kata "jika dan hanya jika", artinya pembuktiannya ada dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan , kedua arah harus dibuktikan.
Pembuktian dari kiri ke kanan :
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren),
maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
Pembuktian dari kanan ke kiri :
Jika berlaku $ \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 , \, $
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren).
Pembuktian Dari kiri ke kanan
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren),
maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga Dengan Luas segitiga
Perhatikan gambar berikut,
*). Kita misalkan $ [ABC] \, $ menyatakan luas segitiga ABC.
*). Menentukan perbandingan AF : FB .
*). Perhatikan $\Delta$AOB,
$\Delta$AOF dengan alas AF dan $\Delta$BOF dengan alas FB memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_1 $.
$ [AOF] = \frac{1}{2}.AF . t_1 \, $ dan $ [BOF] = \frac{1}{2}.FB.t_1 $
*). Perhatikan $\Delta$ACB,
$\Delta$ACF dengan alas AF dan $\Delta$BCF dengan alas FB memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_2 $.
$ [ACF] = \frac{1}{2}.AF . t_2 \, $ dan $ [BCF] = \frac{1}{2}.FB.t_2 $
*). Menentukan luas segitiga AOC dan luas segitiga BOC .
$ [AOC] = [ACF]-[AOF] $.
$ [AOC] = \frac{1}{2}.AF.t_2 - \frac{1}{2}.AF . t_1 = \frac{1}{2}.AF . (t_2 - t_1) $.
$ [BOC] = [BCF]-[BOF] $ .
$ [BOC] = \frac{1}{2}.FB.t_2 - \frac{1}{2}.FB.t_1 = \frac{1}{2}.FB.(t_2-t_1) $ .
*). Perbandingan AF : FB ,
$ \begin{align} \frac{[AOC]}{[BOC]} & = \frac{\frac{1}{2}.AF . (t_2 - t_1)}{\frac{1}{2}.FB.(t_2-t_1)} \\ \frac{[AOC]}{[BOC]} & = \frac{AF}{FB} \end{align} $
Kita peroleh : $ \frac{AF}{FB} = \frac{[AOC]}{[BOC]} \, $ ....pers(a).
Dengan cara yang sama kita peroleh :
*). Menggunakan segitiga BOC dan segitiga BAC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{BD}{DC} = \frac{[AOB]}{[AOC]} \, $ ....pers(b).
*). Menggunakan segitiga AOC dan segitiga ABC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{CE}{EA} = \frac{[BOC]}{[AOB]} \, $ ....pers(c).
*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = \frac{[AOC]}{[BOC]} . \frac{[AOB]}{[AOC]} . \frac{[BOC]}{[AOB]} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
*). Menentukan perbandingan AF : FB .
*). Perhatikan $\Delta$AOB,
$\Delta$AOF dengan alas AF dan $\Delta$BOF dengan alas FB memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_1 $.
$ [AOF] = \frac{1}{2}.AF . t_1 \, $ dan $ [BOF] = \frac{1}{2}.FB.t_1 $
*). Perhatikan $\Delta$ACB,
$\Delta$ACF dengan alas AF dan $\Delta$BCF dengan alas FB memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_2 $.
$ [ACF] = \frac{1}{2}.AF . t_2 \, $ dan $ [BCF] = \frac{1}{2}.FB.t_2 $
*). Menentukan luas segitiga AOC dan luas segitiga BOC .
$ [AOC] = [ACF]-[AOF] $.
$ [AOC] = \frac{1}{2}.AF.t_2 - \frac{1}{2}.AF . t_1 = \frac{1}{2}.AF . (t_2 - t_1) $.
$ [BOC] = [BCF]-[BOF] $ .
$ [BOC] = \frac{1}{2}.FB.t_2 - \frac{1}{2}.FB.t_1 = \frac{1}{2}.FB.(t_2-t_1) $ .
*). Perbandingan AF : FB ,
$ \begin{align} \frac{[AOC]}{[BOC]} & = \frac{\frac{1}{2}.AF . (t_2 - t_1)}{\frac{1}{2}.FB.(t_2-t_1)} \\ \frac{[AOC]}{[BOC]} & = \frac{AF}{FB} \end{align} $
Kita peroleh : $ \frac{AF}{FB} = \frac{[AOC]}{[BOC]} \, $ ....pers(a).
Dengan cara yang sama kita peroleh :
*). Menggunakan segitiga BOC dan segitiga BAC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{BD}{DC} = \frac{[AOB]}{[AOC]} \, $ ....pers(b).
*). Menggunakan segitiga AOC dan segitiga ABC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{CE}{EA} = \frac{[BOC]}{[AOB]} \, $ ....pers(c).
*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = \frac{[AOC]}{[BOC]} . \frac{[AOB]}{[AOC]} . \frac{[BOC]}{[AOB]} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga dengan Dalil Menelaus
Perhatikan gambar berikut yang diperoleh dari gambar asli di atas yang dibagi menjadi dua untuk memudahkan dalam menggunakan dalil menelaus.
*). Dalil Menelaus pada gambar (a),
$ \frac{FO}{OC}. \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} = 1 \, $ ....pers(i).
*). Dalil Menelaus pada gambar (b),
$ \frac{FO}{OC}. \frac{CD}{DB}. \frac{AB}{AF} = 1 \rightarrow \frac{FO}{OC} = \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{AB} \, $ ....pers(ii).
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} \frac{FO}{OC}. \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} & = 1 \\ \left( \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{AB} \right). \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} & = 1 \\ \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{FB}. \frac{CE}{EA} & = 1 \\ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
*). Dalil Menelaus pada gambar (a),
$ \frac{FO}{OC}. \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} = 1 \, $ ....pers(i).
*). Dalil Menelaus pada gambar (b),
$ \frac{FO}{OC}. \frac{CD}{DB}. \frac{AB}{AF} = 1 \rightarrow \frac{FO}{OC} = \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{AB} \, $ ....pers(ii).
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} \frac{FO}{OC}. \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} & = 1 \\ \left( \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{AB} \right). \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} & = 1 \\ \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{FB}. \frac{CE}{EA} & = 1 \\ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga berbentuk Trigonometri
Dalil Ceva berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
jika dan hanya jika $ \, \, \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1 $.
Kita buktikan dari kiri ke kanan saja.
Perhatikan gambar berikut,
untuk aturan sinus, silahkan baca materinya di "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".
Kita terapkan aturan sinus pada segitiga yang ada berikut,
*). Segitiga AOB,
$ \frac{OB}{\sin \angle BAO} = \frac{OA}{\sin \angle ABO} \rightarrow \frac{\sin \angle BAO}{\sin \angle ABO} = \frac{OB}{OA} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle ABE} = \frac{OB}{OA} \, $ ....pers(1).
*). Segitiga BOC,
$ \frac{OC}{\sin \angle CBO} = \frac{OB}{\sin \angle BCO} \rightarrow \frac{\sin \angle CBO}{\sin \angle BCO} = \frac{OC}{OB} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle BCF} = \frac{OC}{OB} \, $ ....pers(2).
*). Segitiga COA,
$ \frac{OA}{\sin \angle ACO} = \frac{OC}{\sin \angle CAO} \rightarrow \frac{\sin \angle ACO}{\sin \angle CAO} = \frac{OA}{OC} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle CAD} = \frac{OA}{OC} \, $ ....pers(3).
*). Kalikan ketiga persamaan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle ABE}. \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle BCF} . \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle CAD} & = \frac{OB}{OA} . \frac{OC}{OB} . \frac{OA}{OC} \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1 $.
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
jika dan hanya jika $ \, \, \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1 $.
Kita buktikan dari kiri ke kanan saja.
Perhatikan gambar berikut,
Kita terapkan aturan sinus pada segitiga yang ada berikut,
*). Segitiga AOB,
$ \frac{OB}{\sin \angle BAO} = \frac{OA}{\sin \angle ABO} \rightarrow \frac{\sin \angle BAO}{\sin \angle ABO} = \frac{OB}{OA} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle ABE} = \frac{OB}{OA} \, $ ....pers(1).
*). Segitiga BOC,
$ \frac{OC}{\sin \angle CBO} = \frac{OB}{\sin \angle BCO} \rightarrow \frac{\sin \angle CBO}{\sin \angle BCO} = \frac{OC}{OB} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle BCF} = \frac{OC}{OB} \, $ ....pers(2).
*). Segitiga COA,
$ \frac{OA}{\sin \angle ACO} = \frac{OC}{\sin \angle CAO} \rightarrow \frac{\sin \angle ACO}{\sin \angle CAO} = \frac{OA}{OC} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle CAD} = \frac{OA}{OC} \, $ ....pers(3).
*). Kalikan ketiga persamaan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle ABE}. \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle BCF} . \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle CAD} & = \frac{OB}{OA} . \frac{OC}{OB} . \frac{OA}{OC} \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1 $.
Pembuktian dari kanan ke kiri
Jika berlaku $ \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 , \, $
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren).
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren).
Sebelumnya telah terbukti dari kiri ke kanan :
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
Misalkan AD dan BE berpotongan dititik O, perpanjangan garis CO memotong sisi AB di titik F', cukup kita tunjukkan F = F'.
Dari pembuktian dari kiri ke kanan, maka berlaku :
$ \frac{AF'}{F'B}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 \, $ ....pers(i).
Sementara dari arah kanan ke kiri berlaku :
$ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 \, $ ....pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), kita peroleh :
$ \frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB} $
artinya F = F' atau titik F dan F' berimpit, sehingga terbukti bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), atau lebih lengkapnya :
Jika berlaku $ \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 , \, $
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren).
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.
Misalkan AD dan BE berpotongan dititik O, perpanjangan garis CO memotong sisi AB di titik F', cukup kita tunjukkan F = F'.
Dari pembuktian dari kiri ke kanan, maka berlaku :
$ \frac{AF'}{F'B}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 \, $ ....pers(i).
Sementara dari arah kanan ke kiri berlaku :
$ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 \, $ ....pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), kita peroleh :
$ \frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB} $
artinya F = F' atau titik F dan F' berimpit, sehingga terbukti bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), atau lebih lengkapnya :
Jika berlaku $ \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 , \, $
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren).