Persamaan garis lurus (PGL) merupakan suatu persamaan linear dengan dua variabel. Jika diubah dalam bentuk fungsi ($y = f(x)$), maka akan terbentuk fungsi linear yang grafiknya berupa garis lurus. Berikut kita akan bahas tentang bentuk umum persamaan garis lurus dan grafiknya (garis lurus)
Materi persamaan garis lurus dan grafiknya ini sebenarnya sudah dipelajari di tingkat SMP, dan dipelajari kembali di tingkat SMA. Tentu untuk pembahasan tingkat SMA akan lebih mendalam baik dari segi teori maupun tipe soalnya. Jadi, bagi teman-teman jangan pernah bosan untuk mempelajarinya. Kenapa materi persamaan garis lurus atau persamaan linear dipelajari kembali? Karena materi ini ada kaitannya dengan salah satu bab dalam matematika yaitu "program linear" dan "persamaan garis singgung kurva".
Contoh : Dari persamaan berikut ini, manakah yang merupakan persamaan garis lurus!
a). $ 2x+3y = 2 $
b). $ x - \frac{2}{3} y = 9 $
c). $ x = 5 $
d). $ y = 3 $
e). $ x^2 - 2y = 7 $
f). $ y = \frac{3}{x} $
g). $ xy + y = -5 $
Penyelesaian :
*). Yang merupakan persamaan garis lurus adalah a, b, c, dan d.
*). yang bukan PGL :
e. $ x^2 - 2y = 7 $ karena variabel $ x \, $ pangkatnya bukan satu
f). $ y = \frac{3}{x} \rightarrow xy = 3 $ karena variabel $ x \, $ dan $ y \, $ menjadi satu suku sehingga pangkatnya kalau digabung bukan pangkat satu lagi. Begitu juga untuk bagian g). $ xy + y = -5 $
Contoh
1). Tentukan dua titik yang dilewati oleh persamaan garis lurus $ 2x - 3y = 6 \, $ dan gambarlah garisnya!
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan dua titik yang dilewati oleh garis, kita tentukan sebarang nilai untuk variabel $ x \, $ atau $ y \, $ lalu kita substitusikan nilai yang kita pilih sebelumnya ke persamaan sehingga diperoleh nilai variabel yang belum diketahui.
Misal kita pilih $ x = 0 \, $ , substitusi ke persamaan
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow 2x - 3y & = 6 \\ 2. 0 - 3y & = 6 \\ 0 - 3y & = 6 \\ - 3y & = 6 \\ y & = \frac{6}{-3} = -2 \end{align} $
Sehingga titik pertama yang dilewati oleh garis adalah (0, -2).
Misal kita pilih $ y = 2 \, $ , substitusi ke persamaan
$ \begin{align} y = 2 \rightarrow 2x - 3y & = 6 \\ 2x - 3.2 & = 6 \\ 2x - 6 & = 6 \\ 2x & = 12 \\ x & = \frac{12}{2} = 6 \end{align} $
Sehingga titik kedua yang dilewati oleh garis adalah (6, 2).
Artinya garis lurus $ 2x - 3y = 6 \, $ melalui titik (0, -2) dan (6, 2). Berikut grafiknya :
Catatan :
Sebenarnya dua titik yang kita cari bebas, terserah sobat ingin memasukkan sebarang titik dan tidak harus dua titik seperti di contoh ini. misalkan pilih $ x = 1 \, $ , lalu kita substitusi ke persamaan, maka akan kita peroleh nilai $ y \, $ , atau pilih nilai $ y \, $ lalu kita substitusi ke persamaan dan akan kita peroleh nilai $ x $ .
2). Dari persamaan garis lurus $ x + 2y = 4, \, $ tentukanlah titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y, serta gambarlah garisnya!
Penyelesaian :
*)Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x + 2y & = 4 \\ x + 2. 0 & = 4 \\ x + 0 & = 4 \\ x & = 4 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X adalah (4, 0).
*)Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow x + 2y & = 4 \\ 0 + 2y & = 4 \\ 2y & = 4 \\ y & = \frac{4}{2} = 2 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0, 2).
*). Grafik garis lurus $ x + 2y = 4 $ yaitu
3). Gambarlah grafik garis lurus dengan persamaan!
a. $ x = -1 $
b. $ y = 2 $
Penyelesaian :
Berikut langsung grafik masing-masing
4). Diketahui persamaan garis $ ax + by = 1 \, $ melalui titik (2,1) dan titik (-4,-1). Tentukan nilai $ a + b $ !
Penyelesaian :
*)Untuk menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ , kita substitusi semua titik yang dilalui ke persamaan.
$ \begin{align} (x,y)=(2,1) \rightarrow ax + by & = 1 \\ a.2 + b.1 & = 1 \\ 2a + b & = 1 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ (x,y)=(-4,-1) \rightarrow ax + by & = 1 \\ a.(-4) + b.(-1) & = 1 \\ -4a - b & = 1 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*) Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2a + b = 1 & \\ -4a - b = 1 & + \\ \hline -2a = 2 & \\ a = -1 & \end{array} $
Pers (i) : $ 2a + b = 1 \rightarrow 2(-1) + b = 1 \rightarrow b = 3 $
Sehingga nilai $ a + b = -1 + 3 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 $
Materi persamaan garis lurus dan grafiknya ini sebenarnya sudah dipelajari di tingkat SMP, dan dipelajari kembali di tingkat SMA. Tentu untuk pembahasan tingkat SMA akan lebih mendalam baik dari segi teori maupun tipe soalnya. Jadi, bagi teman-teman jangan pernah bosan untuk mempelajarinya. Kenapa materi persamaan garis lurus atau persamaan linear dipelajari kembali? Karena materi ini ada kaitannya dengan salah satu bab dalam matematika yaitu "program linear" dan "persamaan garis singgung kurva".
Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus
Misalkan $ a , b, c \in R \, $ (bilangan real) , dan terdapat variabel $ x \, $ dan $ y \, $ , maka bentuk umum persamaan garis lurus adalah $ ax + by = c \, $ .
Keterangan :
$ a \, $ sebagai koefisien $ x$
$b \, $ sebagai koefisien $ y \, $ dan $ c \, $ adalah konstanta
variabel $ x \, $ dan $ y \, $ harus berpangkat satu.
$ a \, $ sebagai koefisien $ x$
$b \, $ sebagai koefisien $ y \, $ dan $ c \, $ adalah konstanta
variabel $ x \, $ dan $ y \, $ harus berpangkat satu.
a). $ 2x+3y = 2 $
b). $ x - \frac{2}{3} y = 9 $
c). $ x = 5 $
d). $ y = 3 $
e). $ x^2 - 2y = 7 $
f). $ y = \frac{3}{x} $
g). $ xy + y = -5 $
Penyelesaian :
*). Yang merupakan persamaan garis lurus adalah a, b, c, dan d.
*). yang bukan PGL :
e. $ x^2 - 2y = 7 $ karena variabel $ x \, $ pangkatnya bukan satu
f). $ y = \frac{3}{x} \rightarrow xy = 3 $ karena variabel $ x \, $ dan $ y \, $ menjadi satu suku sehingga pangkatnya kalau digabung bukan pangkat satu lagi. Begitu juga untuk bagian g). $ xy + y = -5 $
Grafik Persamaan Garis Lurus
Cara Menggambar Garis Lurus pada Diagram Cartesius
Untuk menggambar garis yang diketahui persamaan garis lurusnya, kita bagi menjadi beberapa bagian tergantung dari bentuk persamaannya.
*). Persamaan garis lurus lengkap $ ax + by = c $
Persamaan garis lurus lengkap disini maksudnya adalah variabel $ x \, $ dan $ y \, $ dua-duanya ada.
Cara menggambarnya :
Cara I : Menentukan dua titik yang dilewati oleh garis, kemudian hubungkan kedua titik tersebut sehingga membentuk garis.
Cara II : Menentukan dua titik potong pada sumbu X dan sumbu Y. Untuk titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 \, $ dan untuk titik potong sumbu Y, substitusikanlah $ x = 0 $ .
*). Persamaan garis tidak lengkap yaitu $ x = a \, $ dan $ y = b $
Untuk garis $ x = a \, $ berupa garis lurus tegak (vertikal) dan garis $ y = b \, $ berupa garis lurus datar (horizontal).
*). Persamaan garis lurus lengkap $ ax + by = c $
Persamaan garis lurus lengkap disini maksudnya adalah variabel $ x \, $ dan $ y \, $ dua-duanya ada.
Cara menggambarnya :
Cara I : Menentukan dua titik yang dilewati oleh garis, kemudian hubungkan kedua titik tersebut sehingga membentuk garis.
Cara II : Menentukan dua titik potong pada sumbu X dan sumbu Y. Untuk titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 \, $ dan untuk titik potong sumbu Y, substitusikanlah $ x = 0 $ .
*). Persamaan garis tidak lengkap yaitu $ x = a \, $ dan $ y = b $
Untuk garis $ x = a \, $ berupa garis lurus tegak (vertikal) dan garis $ y = b \, $ berupa garis lurus datar (horizontal).
1). Tentukan dua titik yang dilewati oleh persamaan garis lurus $ 2x - 3y = 6 \, $ dan gambarlah garisnya!
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan dua titik yang dilewati oleh garis, kita tentukan sebarang nilai untuk variabel $ x \, $ atau $ y \, $ lalu kita substitusikan nilai yang kita pilih sebelumnya ke persamaan sehingga diperoleh nilai variabel yang belum diketahui.
Misal kita pilih $ x = 0 \, $ , substitusi ke persamaan
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow 2x - 3y & = 6 \\ 2. 0 - 3y & = 6 \\ 0 - 3y & = 6 \\ - 3y & = 6 \\ y & = \frac{6}{-3} = -2 \end{align} $
Sehingga titik pertama yang dilewati oleh garis adalah (0, -2).
Misal kita pilih $ y = 2 \, $ , substitusi ke persamaan
$ \begin{align} y = 2 \rightarrow 2x - 3y & = 6 \\ 2x - 3.2 & = 6 \\ 2x - 6 & = 6 \\ 2x & = 12 \\ x & = \frac{12}{2} = 6 \end{align} $
Sehingga titik kedua yang dilewati oleh garis adalah (6, 2).
Artinya garis lurus $ 2x - 3y = 6 \, $ melalui titik (0, -2) dan (6, 2). Berikut grafiknya :
Sebenarnya dua titik yang kita cari bebas, terserah sobat ingin memasukkan sebarang titik dan tidak harus dua titik seperti di contoh ini. misalkan pilih $ x = 1 \, $ , lalu kita substitusi ke persamaan, maka akan kita peroleh nilai $ y \, $ , atau pilih nilai $ y \, $ lalu kita substitusi ke persamaan dan akan kita peroleh nilai $ x $ .
2). Dari persamaan garis lurus $ x + 2y = 4, \, $ tentukanlah titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y, serta gambarlah garisnya!
Penyelesaian :
*)Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x + 2y & = 4 \\ x + 2. 0 & = 4 \\ x + 0 & = 4 \\ x & = 4 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X adalah (4, 0).
*)Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow x + 2y & = 4 \\ 0 + 2y & = 4 \\ 2y & = 4 \\ y & = \frac{4}{2} = 2 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0, 2).
*). Grafik garis lurus $ x + 2y = 4 $ yaitu
3). Gambarlah grafik garis lurus dengan persamaan!
a. $ x = -1 $
b. $ y = 2 $
Penyelesaian :
Berikut langsung grafik masing-masing
4). Diketahui persamaan garis $ ax + by = 1 \, $ melalui titik (2,1) dan titik (-4,-1). Tentukan nilai $ a + b $ !
Penyelesaian :
*)Untuk menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ , kita substitusi semua titik yang dilalui ke persamaan.
$ \begin{align} (x,y)=(2,1) \rightarrow ax + by & = 1 \\ a.2 + b.1 & = 1 \\ 2a + b & = 1 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ (x,y)=(-4,-1) \rightarrow ax + by & = 1 \\ a.(-4) + b.(-1) & = 1 \\ -4a - b & = 1 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*) Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2a + b = 1 & \\ -4a - b = 1 & + \\ \hline -2a = 2 & \\ a = -1 & \end{array} $
Pers (i) : $ 2a + b = 1 \rightarrow 2(-1) + b = 1 \rightarrow b = 3 $
Sehingga nilai $ a + b = -1 + 3 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 $