Sebelumnya telah dibahas tentang "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya" serta "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus". Kali ini kita akan membahas tentang hubungan dua garis lurus. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya pelajari dahulu materi "Gradien". Hubungan dua garis yang akan dipelajari adalah dua garis yang sejajar (berimpit) dan tegak lurus (berpotongan).
Hubungan dua garis lurus sangat penting untuk kita pelajari karena biasanya untuk menentukan besarnya gradien (kemiringan) suatu garis bergantung dari garis lain. Dengan mengetahui hubungan kedua garis, maka kita pasti bisa menentukan gradien masing-masing. Selain penerapannya pada garis lurus secara langsung, hubungan dua garis khususnya gradiennya juga berguna ketika kita mempelajari materi garis singgung kurva dan garis singgung lingkaran serta garis singgung pada irisan kerucut.
Contoh :
1). Dari Persamaan garis berikut, manakah pasangan garis yang sejajar dan tegak lurus!
a. $ 2x - y = 5 $
b. $ 6x + 2y -3 = 0 $
c. $ x + 2y -7 = 0 $
d. $ -4x + 2y = 1 $
e. $ -x + 3y - 7 = 0 $
Penyelesaian :
*). Kita tentukan gradien masing-masing
Konsep : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
a. $ 2x - y = 5 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{2}{-1} = 2 $
b. $ 6x + 2y -3 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{6}{2} = -3 $
c. $ x + 2y -7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{1}{2} $
d. $ -4x + 2y = 1 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-4}{2} = 2 $
e. $ -x + 3y - 7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3} $
*). Garis yang sejajar adalah garis a dan garis d.
*). Garis yang tegak lurus adalah garis a dan c, serta garis b dan garis e.
2). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan sejajar dengan garis $ y = -3x + 5 $ !
Penyelesaian :
garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $
*). Karena garis yang dicari sejajar dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka gradiennya sama, sehingga gradien garis yang dicari adalah $ m = m_1 = -3 $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = -3 $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-3) & = -3(x-(-1)) \\ y + 3 & = -3(x+1) \\ y + 3 & = -3x - 3 \\ y & = -3x - 6 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ y = -3x - 6 $
3). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5 $ !
Penyelesaian :
garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $
*). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow -3. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{1}{3} \, $ . artinya gradien garis yang kita cari adalah $ m = \frac{1}{3} $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = \frac{1}{3} $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-3) & = \frac{1}{3}(x-(-1)) \\ y + 3 & = \frac{1}{3}(x+1) \\ 3y + 9 & = x + 1 \\ x - 3y & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - 3y = 8 $
4). Diketahui garis $ (p+1)x - 3y = 3 $ tegak lurus dengan garis $ 2x + (2p - 1)y + 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ 4p - 1 $
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing
$ (p+1)x - 3y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{p+1}{-3} = \frac{p+1}{3} $
$ 2x + (2p - 1)y + 3 = 0 \rightarrow m_2 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{2}{2p-1} $
*). Syarat dua garis tegak lurus : $ m_1.m_2 = -1 $
$ \begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ \left( \frac{p+1}{3} \right) . \left( - \frac{2}{2p-1} \right) & = -1 \\ \left( \frac{2p+2}{6p - 3} \right) & = 1 \\ 2p + 2 & = 6p - 3 \\ 6p - 2p & = 2 + 3 \\ 4p & = 5 \\ p & = \frac{5}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ 4p - 1 = 4. \frac{5}{4} - 1 = 5 - 1 = 4 $
Jadi, nilai $ 4p-1 = 4 $
Contoh :
Tentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh kedua garis $ y = \sqrt{3}x + 3 \, $ dan garis $ y = -\sqrt{3}x + 7 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing
$ y = \sqrt{3}x + 3 \rightarrow m_1 = \sqrt{3} $
$ y = -\sqrt{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut kedua garis
$ \begin{align} \tan \alpha & = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } \\ & = \frac{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}.(-\sqrt{3}) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{1+ (-3) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{-2} \\ \tan \alpha & = -\sqrt{3} \end{align} $
Diperoleh $ \tan \alpha = - \sqrt{3} \, $ , berdasarkan tabel trigonometri maka diperoleh $ \alpha = 120^\circ $
Atau sudut terkecil kedua garis adalah $ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $
Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh kedua garis adalah $ 60^\circ $ .
Contoh
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui perpotongan garis $ 3x - y = 2 \, $ dan garis $ 2x + y = 3 \, $ serta tegak lurus dengan garis $ x - 3y + 2 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua garis dengan eliminasi dan substitusi
$\begin{array}{cc} 3x - y = 2 & \\ 2x + y = 3 & + \\ \hline 5x = 5 & \\ x = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ 2x + y = 3 \rightarrow 2 . 1 + y = 3 \rightarrow y = 3 - 2 = 1 $
Sehingga titik potong kedua garis adalah (1,1)
*). Menentukan gradien
$ x - 3y + 2 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{1}{-3} = \frac{1}{3} $
*). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ x - 3y + 2 = 0, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{1}{3}. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -3 $ . artinya gradien garis yang kita cari adalah $ m = -3 $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(1,1) \, $ dan gradien $ m = -3 $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 1 & = -3(x-1) \\ y - 1 & = -3x + 3 \\ 3x + y & = 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ 3x + y = 4 $
Hubungan dua garis lurus sangat penting untuk kita pelajari karena biasanya untuk menentukan besarnya gradien (kemiringan) suatu garis bergantung dari garis lain. Dengan mengetahui hubungan kedua garis, maka kita pasti bisa menentukan gradien masing-masing. Selain penerapannya pada garis lurus secara langsung, hubungan dua garis khususnya gradiennya juga berguna ketika kita mempelajari materi garis singgung kurva dan garis singgung lingkaran serta garis singgung pada irisan kerucut.
Hubungan Dua Garis Lurus
Macam - macam Hubungan Dua Garis Lurus
Misalkan diketahui dua garis lurus $ ax+by=c \, $ dan $ px+qy=r \, $ . Ada beberapa hubungan yang bisa kita peroleh dari kedua garis tersebut, yaitu :
*). sejajar
Dua garis sejajar syaratnya gradiennya sama ($m_1=m_2$).
Jika dilihat dari koefisiennya, syarat kedua garis sejajar yaitu $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $ . Jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} \, $ , maka kedua garis tersebut berimpit. Dan jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} , \, $ maka kedua garis pasti berpotongan.
*). Tegak lurus
Dua garis tegak lurus syaratnya perkalian gradien kedua garis hasilnya $ -1 \, $ atau $ m_1 \times m_2 = -1 $.
Jika dilihat dari koefisiennya, syarat dua garis tegak lurus yaitu $ \frac{a}{b} = -\frac{q}{p} $ .
*). sejajar
Dua garis sejajar syaratnya gradiennya sama ($m_1=m_2$).
Jika dilihat dari koefisiennya, syarat kedua garis sejajar yaitu $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $ . Jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} \, $ , maka kedua garis tersebut berimpit. Dan jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} , \, $ maka kedua garis pasti berpotongan.
*). Tegak lurus
Dua garis tegak lurus syaratnya perkalian gradien kedua garis hasilnya $ -1 \, $ atau $ m_1 \times m_2 = -1 $.
Jika dilihat dari koefisiennya, syarat dua garis tegak lurus yaitu $ \frac{a}{b} = -\frac{q}{p} $ .
1). Dari Persamaan garis berikut, manakah pasangan garis yang sejajar dan tegak lurus!
a. $ 2x - y = 5 $
b. $ 6x + 2y -3 = 0 $
c. $ x + 2y -7 = 0 $
d. $ -4x + 2y = 1 $
e. $ -x + 3y - 7 = 0 $
Penyelesaian :
*). Kita tentukan gradien masing-masing
Konsep : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
a. $ 2x - y = 5 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{2}{-1} = 2 $
b. $ 6x + 2y -3 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{6}{2} = -3 $
c. $ x + 2y -7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{1}{2} $
d. $ -4x + 2y = 1 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-4}{2} = 2 $
e. $ -x + 3y - 7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3} $
*). Garis yang sejajar adalah garis a dan garis d.
*). Garis yang tegak lurus adalah garis a dan c, serta garis b dan garis e.
2). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan sejajar dengan garis $ y = -3x + 5 $ !
Penyelesaian :
garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $
*). Karena garis yang dicari sejajar dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka gradiennya sama, sehingga gradien garis yang dicari adalah $ m = m_1 = -3 $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = -3 $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-3) & = -3(x-(-1)) \\ y + 3 & = -3(x+1) \\ y + 3 & = -3x - 3 \\ y & = -3x - 6 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ y = -3x - 6 $
3). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5 $ !
Penyelesaian :
garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $
*). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow -3. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{1}{3} \, $ . artinya gradien garis yang kita cari adalah $ m = \frac{1}{3} $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = \frac{1}{3} $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-3) & = \frac{1}{3}(x-(-1)) \\ y + 3 & = \frac{1}{3}(x+1) \\ 3y + 9 & = x + 1 \\ x - 3y & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - 3y = 8 $
4). Diketahui garis $ (p+1)x - 3y = 3 $ tegak lurus dengan garis $ 2x + (2p - 1)y + 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ 4p - 1 $
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing
$ (p+1)x - 3y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{p+1}{-3} = \frac{p+1}{3} $
$ 2x + (2p - 1)y + 3 = 0 \rightarrow m_2 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{2}{2p-1} $
*). Syarat dua garis tegak lurus : $ m_1.m_2 = -1 $
$ \begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ \left( \frac{p+1}{3} \right) . \left( - \frac{2}{2p-1} \right) & = -1 \\ \left( \frac{2p+2}{6p - 3} \right) & = 1 \\ 2p + 2 & = 6p - 3 \\ 6p - 2p & = 2 + 3 \\ 4p & = 5 \\ p & = \frac{5}{4} \end{align} $
Sehingga nilai $ 4p - 1 = 4. \frac{5}{4} - 1 = 5 - 1 = 4 $
Jadi, nilai $ 4p-1 = 4 $
Besarnya sudut antara Dua Garis Lurus
Misalkan diketahui dua garis lurus $ ax+by=c \, $ dan $ px+qy=r \, $ yang masing-masing memiliki gradien $ m_1 \, $ dan $ m_2 . \, $ Besarnya sudut antara kedua garis adalah $ \alpha , \, $ yang dapat ditentukn dengan rumus :
$ \tan \alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } $
$ \tan \alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } $
Tentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh kedua garis $ y = \sqrt{3}x + 3 \, $ dan garis $ y = -\sqrt{3}x + 7 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing
$ y = \sqrt{3}x + 3 \rightarrow m_1 = \sqrt{3} $
$ y = -\sqrt{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut kedua garis
$ \begin{align} \tan \alpha & = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1.m_2 } \\ & = \frac{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}.(-\sqrt{3}) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{1+ (-3) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{-2} \\ \tan \alpha & = -\sqrt{3} \end{align} $
Diperoleh $ \tan \alpha = - \sqrt{3} \, $ , berdasarkan tabel trigonometri maka diperoleh $ \alpha = 120^\circ $
Atau sudut terkecil kedua garis adalah $ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $
Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh kedua garis adalah $ 60^\circ $ .
Menentukan perpotongan dua garis lurus
Untuk menentukan titik potong dua buah garis, bisa dilakukan dengan teknik eliminasi dan substitusi. Silahkan baca materi "Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)"
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui perpotongan garis $ 3x - y = 2 \, $ dan garis $ 2x + y = 3 \, $ serta tegak lurus dengan garis $ x - 3y + 2 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua garis dengan eliminasi dan substitusi
$\begin{array}{cc} 3x - y = 2 & \\ 2x + y = 3 & + \\ \hline 5x = 5 & \\ x = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ 2x + y = 3 \rightarrow 2 . 1 + y = 3 \rightarrow y = 3 - 2 = 1 $
Sehingga titik potong kedua garis adalah (1,1)
*). Menentukan gradien
$ x - 3y + 2 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{1}{-3} = \frac{1}{3} $
*). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ x - 3y + 2 = 0, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{1}{3}. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -3 $ . artinya gradien garis yang kita cari adalah $ m = -3 $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(1,1) \, $ dan gradien $ m = -3 $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 1 & = -3(x-1) \\ y - 1 & = -3x + 3 \\ 3x + y & = 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ 3x + y = 4 $