Setelah mempelajari artikel "fungsi logaritma dan menggambar grafiknya", kita lanjutkan pembahasan berikut ini yaitu Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya. Pada artikel ini, akan diketahui grafik fungsi logaritma yang melalui beberapa titik, dan tugas kita untuk menentukan persamaan fungsi logaritmanya. Soal-soal Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya biasanya juga muncul untuk Ujian Nasional, jadi perlu juga kita pelajari secara seksama teman-teman.
Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya ini, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi "definisi logaritma" dan "sifat-sifat pada eksponen" karena akan melibatkan bentuk perpangkatan dalam perhitungannya nanti. Secara garis besar, pembahasan pada artikel Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya kita bagi menjadi dua yaitu pertama dengan menggunakan bentuk umum fungsi logaritma (yang sederhana) dan kedua diketahui soalnya dalam bentuk pilihan ganda yang biasanya keluar di Ujian Nasional.
Adapun rumus-rumus dasarnya adalah :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
dengan syarat : $ a > 0, \, a \neq 1, \, $ dan $ b > 0 $.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^ 0 = 1 \, $ dengan $ a \neq 0 $.
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
Penyelesaian :
*). Karena grafik hanya melalui dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx) $.
*). Grafik melalui titik $(\frac{1}{3},0) \, $ dan $ (\frac{4}{3},2) $. Kita substitusikan kedua titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{1}{3},0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx) \\ 0 & = {}^a \log (b \frac{1}{3} ) \\ 0 & = {}^a \log (\frac{b}{3} ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ \frac{b}{3} & = a^0 \\ \frac{b}{3} & = 1 \\ b & = 3 \times 1 = 3 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (bx) = {}^a \log (3x) $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{4}{3},2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (3x) \\ 2 & = {}^a \log (3 \times \frac{4}{3} ) \\ 2 & = {}^a \log 4 \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm \sqrt{4} \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena syarat basis adalah positif, maka yang memenuhi $ a = 2 $.
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (3x) = {}^2 \log (3x) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^2 \log (3x) $.
2). Tentukan fungsi logaritma dari grafik berikut ini.
Penyelesaian :
*). Karena grafik melalui leih dari dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx + c) $.
*). Grafik melalui titik $(-2,0) , \, (-1,-1)$, dan $ (2,-2) $. Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (-2,0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ 0 & = {}^a \log (b \times (-2) + c ) \\ 0 & = {}^a \log (-2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -2b + c & = a^0 \\ -2b + c & = 1 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (-1,-1) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -1 & = {}^a \log (b \times (-1) + c ) \\ -1 & = {}^a \log (-b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -b + c & = a^{-1} \\ -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
Substitusi titik ketiga :
$ \begin{align} (x,y) = (2,-2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -2 & = {}^a \log (b \times (2) + c ) \\ -2 & = {}^a \log (2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ 2b + c & = a^{-2} \\ 2b + c & = \frac{1}{a^2} \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(iii) :
Kurangkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & - \\ \hline -4b = 1 - \frac{1}{a^2} & \\ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
Jumlahkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & + \\ \hline 2c = 1 + \frac{1}{a^2} & \\ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
*). Dari pers(ii) , kita substitusi bentuk $ b $ dan $ c $ yang kita peroleh:
$ \begin{align} -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ -[-\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan } 4a^2) \\ 4a^2 \times [\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + 4a^2 \times \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a^2 \times \frac{1}{a} \\ a^2 \times (1 - \frac{1}{a^2}) + 2a^2 \times (1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a \\ a^2 - 1 + 2a^2 + 2 & = 4a \\ 3a^2 - 4a + 1 & = 0 \\ (3a - 1)(a-1) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 1 \end{align} $
Karena syarat basis tidak sama dengan 1, maka $ a = \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dan $ c $ :
$ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{\frac{1}{9}}) = -\frac{1}{4}(1 - 9) = 2 $
$ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{\frac{1}{9}}) = \frac{1}{2}(1 + 9) = 5 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = {}^a \log (bx + c) \rightarrow f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $.
Dari contoh penghitungan untuk soal nomor (2) di atas, terlihat bahwa proses menyelesaikan persamaannya yang agak sulit. Namun, dengan penuh kesabaran, pasti kita akan bisa menyelesaikannya dengan baik dan benar. Memang untuk bentuk fungsi logaritma lebih sulit dibandingkan dengan materi "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya".
Fungsi yang sesuai dengan grafik di atas adalah .....
A). $ y = {}^3 \log ( x + 1) $
B). $ y = 2^x - 1 $
C). $ y = {}^2 \log x + 1 $
D). $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 $
E). $ y = {}^2 \log (x - 1) $
Penyelesaian :
*). Titik - titik yang dilalui oleh grafik yaitu $(2,0) \, $ dan $ (3,1) $.
*). Kita substitusi titik pertama $(2,0)$ , untuk $ x = 2 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 0 $.
Pilihan A: $ y = {}^3 \log ( x + 1) = {}^3 \log ( 2 + 1) = {}^3 \log 3 = 1 $ (SALAH).
Pilihan B: $ y = 2^x - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 $ (SALAH)
Pilihan C: $ y = {}^2 \log x + 1 = {}^2 \log 2 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 1} - 2 = 2 - 2 = 0 $ (BENAR)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (2 - 1) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
*). Karena opsi D dan E BENAR, maka kita substitusi titik lain ke kedua opsion yang benar tersebut.
*). Kita substitusi titik kedua $(3,1)$ , untuk $ x = 3 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 1 $.
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-3 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} - 2 = 4 - 2 = 2 $ (SALAH)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (3 - 1) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Sehingga opsion yang tersisa benar adalah opsi E.
Jadi, persamaan fungsi dari grafik tersebut adalah $ f(x) = {}^2 \log (x-1) $, yaitu opsion E.
Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan logaritma. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.
Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya ini, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi "definisi logaritma" dan "sifat-sifat pada eksponen" karena akan melibatkan bentuk perpangkatan dalam perhitungannya nanti. Secara garis besar, pembahasan pada artikel Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya kita bagi menjadi dua yaitu pertama dengan menggunakan bentuk umum fungsi logaritma (yang sederhana) dan kedua diketahui soalnya dalam bentuk pilihan ganda yang biasanya keluar di Ujian Nasional.
Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya I
Secara umum ada dua bentuk fungsi logaritma sebagai permisalan yang akan kita gunakan yaitu $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ dan $ f(x) = {}^a \log (bx+c) $ .
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu dua titik saja.
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx + c) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu lebih dari dua titik.
Langkah kerjanya adalah kita substitusi semua titik yang dilalui oleh grafik sehingga membentuk beberapa persamaan, setelah itu kita selesaikan persamaan yang terbentuk dengan teknik substitusi dan eliminasi.
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu dua titik saja.
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx + c) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu lebih dari dua titik.
Langkah kerjanya adalah kita substitusi semua titik yang dilalui oleh grafik sehingga membentuk beberapa persamaan, setelah itu kita selesaikan persamaan yang terbentuk dengan teknik substitusi dan eliminasi.
Adapun rumus-rumus dasarnya adalah :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
dengan syarat : $ a > 0, \, a \neq 1, \, $ dan $ b > 0 $.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^ 0 = 1 \, $ dengan $ a \neq 0 $.
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
Contoh Soal Fungsi Logaritma:
1). Tentukan fungsi logaritma dari grafik di bawah ini.Penyelesaian :
*). Karena grafik hanya melalui dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx) $.
*). Grafik melalui titik $(\frac{1}{3},0) \, $ dan $ (\frac{4}{3},2) $. Kita substitusikan kedua titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{1}{3},0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx) \\ 0 & = {}^a \log (b \frac{1}{3} ) \\ 0 & = {}^a \log (\frac{b}{3} ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ \frac{b}{3} & = a^0 \\ \frac{b}{3} & = 1 \\ b & = 3 \times 1 = 3 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (bx) = {}^a \log (3x) $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{4}{3},2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (3x) \\ 2 & = {}^a \log (3 \times \frac{4}{3} ) \\ 2 & = {}^a \log 4 \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm \sqrt{4} \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena syarat basis adalah positif, maka yang memenuhi $ a = 2 $.
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (3x) = {}^2 \log (3x) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^2 \log (3x) $.
2). Tentukan fungsi logaritma dari grafik berikut ini.
Penyelesaian :
*). Karena grafik melalui leih dari dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx + c) $.
*). Grafik melalui titik $(-2,0) , \, (-1,-1)$, dan $ (2,-2) $. Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (-2,0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ 0 & = {}^a \log (b \times (-2) + c ) \\ 0 & = {}^a \log (-2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -2b + c & = a^0 \\ -2b + c & = 1 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (-1,-1) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -1 & = {}^a \log (b \times (-1) + c ) \\ -1 & = {}^a \log (-b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -b + c & = a^{-1} \\ -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
Substitusi titik ketiga :
$ \begin{align} (x,y) = (2,-2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -2 & = {}^a \log (b \times (2) + c ) \\ -2 & = {}^a \log (2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ 2b + c & = a^{-2} \\ 2b + c & = \frac{1}{a^2} \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(iii) :
Kurangkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & - \\ \hline -4b = 1 - \frac{1}{a^2} & \\ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
Jumlahkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & + \\ \hline 2c = 1 + \frac{1}{a^2} & \\ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
*). Dari pers(ii) , kita substitusi bentuk $ b $ dan $ c $ yang kita peroleh:
$ \begin{align} -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ -[-\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan } 4a^2) \\ 4a^2 \times [\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + 4a^2 \times \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a^2 \times \frac{1}{a} \\ a^2 \times (1 - \frac{1}{a^2}) + 2a^2 \times (1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a \\ a^2 - 1 + 2a^2 + 2 & = 4a \\ 3a^2 - 4a + 1 & = 0 \\ (3a - 1)(a-1) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 1 \end{align} $
Karena syarat basis tidak sama dengan 1, maka $ a = \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dan $ c $ :
$ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{\frac{1}{9}}) = -\frac{1}{4}(1 - 9) = 2 $
$ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{\frac{1}{9}}) = \frac{1}{2}(1 + 9) = 5 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = {}^a \log (bx + c) \rightarrow f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $.
Dari contoh penghitungan untuk soal nomor (2) di atas, terlihat bahwa proses menyelesaikan persamaannya yang agak sulit. Namun, dengan penuh kesabaran, pasti kita akan bisa menyelesaikannya dengan baik dan benar. Memang untuk bentuk fungsi logaritma lebih sulit dibandingkan dengan materi "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya".
Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya II
Tipe-tipe soal menentukan fungsi logaritma dari grafiknya juga bisa muncul di UJIAN NASIONAL. Namun di soal-soal Ujian Nasional biasanya dalam bentuk pilihan ganda, sehingga akan memudahkan kita untuk menentukan fungsi dari sebuah grafik yaitu dengan cara langsung SUBSTITUSI titik yang dilewati oleh grafik ke opsionnya (pilihan gandanya), dan kita pilih yang sesuai hasil dengan titik yang dilalui. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal :
3). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.A). $ y = {}^3 \log ( x + 1) $
B). $ y = 2^x - 1 $
C). $ y = {}^2 \log x + 1 $
D). $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 $
E). $ y = {}^2 \log (x - 1) $
Penyelesaian :
*). Titik - titik yang dilalui oleh grafik yaitu $(2,0) \, $ dan $ (3,1) $.
*). Kita substitusi titik pertama $(2,0)$ , untuk $ x = 2 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 0 $.
Pilihan A: $ y = {}^3 \log ( x + 1) = {}^3 \log ( 2 + 1) = {}^3 \log 3 = 1 $ (SALAH).
Pilihan B: $ y = 2^x - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 $ (SALAH)
Pilihan C: $ y = {}^2 \log x + 1 = {}^2 \log 2 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 1} - 2 = 2 - 2 = 0 $ (BENAR)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (2 - 1) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
*). Karena opsi D dan E BENAR, maka kita substitusi titik lain ke kedua opsion yang benar tersebut.
*). Kita substitusi titik kedua $(3,1)$ , untuk $ x = 3 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 1 $.
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-3 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} - 2 = 4 - 2 = 2 $ (SALAH)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (3 - 1) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Sehingga opsion yang tersisa benar adalah opsi E.
Jadi, persamaan fungsi dari grafik tersebut adalah $ f(x) = {}^2 \log (x-1) $, yaitu opsion E.
Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan logaritma. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.